APPENDIX. A TÉR TUDOMÁNYA
APPENDIX. A TÉR TUDOMÁNYA
E fejezet címe egyben rövidített címe Bolyai János egyetlen olyan tanulmányának, mely már életében megjelent. Az e könyv elején fakszimileként közölt latin szövegű címlap magyar fordítása a következő: „Appendix. A tér abszolút igaz tudománya a XI. Euklidész-féle axióma (a priori soha el nem dönthető) helyes, vagy téves voltától független tárgyalásban; annak téves volta esetére, a kör geometriai négyszögesítésével.”
Mielőtt rátérnénk az Appendix tartalmának – e könyvsorozat hagyományaihoz szabott – rövid ismertetésére, néhány előzetes megjegyzést kell tennünk. A hazai, valamint a külföldi irodalomban Bolyai János tanulmányát csaknem mindenütt Appendix címmel idézik. Ez a szokás valójában téves, hisz az „appendix” szó csupán arra utal, hogy az értekezés a Tentamen „függeléke” volt. Annak magyarázata, hogy mégis ez a téves cím honosodott meg a szakirodalomban, visszanyúlik a két Bolyai egymás közti levelezéséig. Ők ugyanis gyakorta vették igénybe utalásaik során – rövidség kedvéért – az appendix szót és használata főként ennek következtében vált megszokottá. Ma már – úgy gondolom – céltalan e szóhasználat ellen harcolnunk, anynyit azonban meg kell tennünk, hogy hozzácsatoljuk „A tér tudománya” szavakat, ugyanis ez legalább valamit elárul a dolgozat jellegéről. Ez annál is inkább helyreigazító, mert Bolyai János egy német nyelvű fogalmazványán a Raumlehre cím szerepel.
Maga az értekezés a címlappal, az ezt követő oldalon felsorolt Bolyai-féle matematikai szimbólumokkal és a kétoldalas hibajegyzékkel együtt 28 oldal terjedelmű. Ehhez csatlakozik a 23 ábrát feltüntető utolsó oldal. A szöveg igen primitív nyomdai technikájától eltérőleg az ábrák tetszetősek. A tanulmány 43 §-t tartalmaz, közöttük vannak 4–5 sorosak, de jóval terjedelmesebbek is.
A tanulmány fogalmazása rendkívül tömör, egy-egy állításának értelmén helyenként sokat kell töprengenünk. Ez a tény olyan értelemben volt hátrányos, hogy a mű jelentőségének felismerését ez is késleltette.
Bolyai János értekezésének címében szerepel a „tér” szó. Ha valamilyen modernebb lexikont felütünk, akkor e fogalomnak többnyire két definícióját találjuk. Filozófiai szempontból a tér „az anyag létformája, az anyagi tárgyak kölcsönhelyzeteinek halmaza, elvonatkoztatva a közöttük levő kapcsolatok konkrét tartalmától”. Tekintettel arra, hogy a különféle jelenségek időben és térben játszódnak le, az anyagtól és az időtől független önálló tér létezése elfogadhatatlan. A tér eme szabatos filozófiai definíciójához a tudomány több évezredes útja vezetett, miközben helyes és téves felfogások váltogatták egymást. A modern értelmezéshez a fizikai ismeretek gazdagodása is hozzájárult, mert a fizikai jelenségek térben és időben játszódnak le. A második – jelen esetben minket közelebbről érintő – térfogalom a matematikában jelentkezik, és ehhez a tapasztalásból absztrakció útján jutunk. Az anyagi világ térbeli formáinak, összefüggéseinek a vizsgálata a geometriának a feladata. Ezen a területen az ógörög matematika már i.e. a III. században eléggé nem csodálható magas színvonalat ért el Euklidész Elemek című könyvében. Euklidész kora matematikai ismereteinek rendszerbe foglalására törekedett. Az elődök által írt művekre, az elméletek alkalmazásainak, valamint az elméletekhez vezető gondolkodásnak a tapasztalataira támaszkodott.
Az euklideszi geometriai rendszer felépítési módja csodálatra méltóan tökéletes még akkor is, ha a későbbi és a mai matematikagondolkodás szintjén bizonyos hiányosságai előtűntek. A geometriai gondolkodást az Euklidésztől eredő axiomatika befolyásolta. Az euklideszi axiomatikát (a Hilbert-félétől és a modern axiomatikától megkülönböztetendő) klasszikus axiomatikának is mondjuk.
Az euklideszi axiomatika lényege a következő. A geometria definiálatlan elemeit, mint a tér, a pont, az egyenes stb. ismerteknek tételezzük fel. Az alapelemekre vonatkozó bizonyos feltevéseket ismertnek, igaznak, mindenki számára nyilvánvalónak fogadjuk el. Mint pl.: „Legyen megengedett bármely pont, mint középpont köré akármekkora sugárral kört rajzolni.” A klasszikus értelemben vett axiomatizálásnál nem kell axiómaként megfogalmazni (vagyis kiemelni) minden olyan feltevést, amit magától értetődőnek tartunk.
A görögök a bennünket körülvevő fizikai tér valódi szerkezetét akarták megismerni. Az ő felfogásuk szerint érzékszerveink a valóságot többé-kevésbé tisztátalan, pontatlan, sőt torz formában közvetítik értelmünk számára. Csakis az értelem képes a valóság lényegét megragadni. Az axiómák szerepe éppen az, hogy következtetéseink ne az érzékszervi úton szerezhető, bizonytalan információkra, hanem a nyilvánvalóan igaz axiómákra támaszkodjanak. Bár az axiómák is a tapasztalat alapján elfogadott feltevések, de egyszerűségük folytán kétségtelenül helyesek. Éppen ezért nyilvánvaló, hogy az axiómák logikai következményei is a valóságot tükrözik.
Az euklideszi érvelési mód olyan fegyelmezett gondolkodást fejlesztett ki, hogy az két évezreden át éreztette hatását főként az egzakt tudományok fejlődésében.
A görög tudósok már az ókorban megkísérelték Euklidész axiómarendszerét kiegészíteni és egyszerűsíteni. Pl. az első axióma eredetileg csak azt fejezte ki, hogy van két pontot összekötő egyenes. Azt azonban az axiómákból nem lehet levezetni, hogy csak egy ilyen egyenes van, ezért az első axiómát kiegészítették. Mélyebb kutatásokra ösztönözte a matematikusokat az ún. párhuzamossági posztulátum (későbbi leírásokban párhuzamossági axióma): „Legyen megengedett: ha egy egyenes két másikat úgy metsz, hogy az egyik oldalán lévő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a metsző egyenesnek azon az oldalán a másik két egyenes metszi egymást.”
Kerestek és találtak olyan axiómát, amely ezzel ekvivalens, amellyel tehát az eredeti helyettesíthető, azonban szemléletesebbnek, könnyebben felfoghatónak tűnik, mint az eredeti. Ezek közül néhányat itt kiemelünk.
1. Minden háromszögben a szögek összege két derékszög összegével egyenlő.
2. Egy egyenesen kívüli ponton át csak egy az egyenessel párhuzamos egyenes vonható.
3. Három különböző pont vagy egy egyenesen, vagy egy körön van.
Egy mélyebb probléma mintegy két évezreden át, a XIX. század elejéig izgatta a kritikus elméket. A probléma a következő. A párhuzamossági axiómától különböző többi axióma alkotta rendszert jelöljük M-mel. Sokan úgy vélték, hogy a párhuzamossági axióma az M alapján bizonyítható tétel, tehát valójában nem axióma. Gauss, Bolyai János és Lobacsevszkij (egymástól függetlenül) tisztázták, hogy a párhuzamossági axióma az M alapján nem bizonyítható be, más szóval független az euklideszi többi axiómától. Gauss (levelezése alapján) úgy látszik, hogy 1804-ben még nem tudta, de az 1820-as évek elején már tisztázta, hogy a párhuzamossági axióma az M alapján nem bizonyítható. A tudománytörténeti kutatások szerint Euklidész korától 1800-ig száznál több „bizonyítás” látott napvilágot, természetesen mindegyikben hibás okoskodás rejlett. Az a tény is figyelmet érdemel, hogy a hibás bizonyítások közül 67 az 1760–1800 közötti intervallumban jelent meg.
Bolyai Farkas a XVIII. század végétől kezdve évtizedeken át behatóan vizsgálta a geometria euklideszi axiómarendszerét. Különböző írásaiban a párhuzamossági axiómával ekvivalens kilenc posztulátumot közölt. Egy hibás, de mégis figyelemre méltó bizonyítást is talált, amelyből adódna, hogy a párhuzamossági axióma a többi axióma következménye. A bizonyításba becsúszott finom hibára Gauss mutatott rá egyik levelében.
Bolyai János 17–18 éves korában kezdte el a paralelák kérdésének kutatását, kezdetben az apja által követett úton haladva. Azonban csakhamar rátért egy forradalmian merész, új irányra. Ennek az a lényege, hogy a többi axiómát megtartva tagadjuk (pontosabban szólva: általánosítjuk) az euklideszi párhuzamossági axiómát, és ilyen módon alapozzuk meg a tér geometriai leírását.
Euklidész szerint két (egy síkban levő) egyenes akkor párhuzamos, ha ezeket egy harmadik egyenessel metszve, a metsző egyenes egyazon oldalán keletkezett két belső szög összege 180°. A párhuzamosság Bolyai-féle értelmezése ennél általánosabb: két egyenes párhuzamossága esetén az említett két szögnek az összege vagy mindig 180°, vagy mindig kisebb 180°-nál. Az euklideszi értelmezéstől való eme eltérés a geometria felépítése során egyre meglepőbb következményekkel jár.
Itt tudunk válaszolni arra a sokak által feltett kérdésre, hogy mi volt a szerepe e vizsgálatokban Bolyai János barátjának, a geometria megalapozásán ugyancsak gondolkodó Szász Károlynak. Az ide tartozó hézagos följegyzések egész meggyőzően bizonyítják, hogy kettejük beszélgetése még csupán egy helyettesítő axióma bizonyítása körül forgott. Az is föltételezhető, hogy beszélgetéseik során először valóban Szász Károly mondta ki azt a szót, amit a szakirodalom az elpattanás szögének nevez, és ami a hiperbolikus geometriában szerepet is játszik. Ennél tovább azonban nem is jutottak, tehát fel sem merült beszélgetéseik során egy új geometriai rendszer kidolgozásának a terve.
Az Appendix olyan tételeket tartalmaz, melyek a Bolyai János által értelmezett párhuzamosságból és az euklideszi geometria többi axiómájából dedukálhatók. Az értekezés 15. §-ában könnyen érthető módon tesz különbséget Bolyai a geometriai rendszerek között: „…nevezzük a geometriának azt a rendszerét, mely Euklidész XI. axiómája igaz voltának feltevésén épül fel, Σ-, az ellenkező feltevésen építettet pedig S-rendszernek.”
A Σ-rendszer tehát az euklideszi, az S-rendszer pedig – a ma használatos terminológia szerint – a hiperbolikus geometria.
„Mindazok a tételek, amelyeknél nem említjük kifejezetten, hogy vajon a Σ- vagy az S-rendszerben érvényesek, abszolút igazak, vagyis állítjuk, hogy érvényesek akár Σ, akár S teljesül a valóságban.”
Az itt, valamint az Appendix címében szereplő „abszolút igaz” kifejezésből alakult ki – valószínűleg Frischauf (később említendő) könyvének a hatására az abszolút geometria elnevezés: abszolút geometriának nevezzük azoknak a tételeknek az összességét, amelyek a párhuzamossági axióma elhagyásával visszamaradó axiómákból dedukálhatók.
Az S-rendszerben, vagyis a Bolyai-féle hiperbolikus geometriában meglepő, az euklideszi szemlélet szerint hamisnak látszó tételek érvényesek. Ennek az érzékeltetése céljából idézzük a hiperbolikus geometria néhány fontos tételét.
Ha az AX félegyenesen az X pont az A kezdő ponttól minden határon túl távolodik, akkor az X középpontú, az A ponton áthaladó, vagyis változó kör nem egyeneshez mint határvonalhoz, hanem egy görbe vonalhoz konvergál. Az így értelmezett alakzatot paraciklusnak nevezzük.
Bármely háromszög területe kisebb egy az egész térben érvényes (véges) c értéknél, mégpedig úgy, hogy mindig van c–ε területű háromszög, bármilyen kicsiny ε-t választunk.
Egy a egyenessel határolt félsíkon az a-tól egyenlő távolságban levő pontok nem egyenes, hanem görbe vonalat alkotnak. Ezt a vonalat hiperciklusnak (távolságvonalnak) nevezzük.
Bármely paraciklusból (akár ugyanazt a paraciklust is tekinthetjük) egybevágó hurok egybevágó paraciklusíveket vágnak ki. (Más szóval: a paraciklusok egybevágó alakzatok, s bármely paraciklus önmagában „eltolható”, helyesebben elmozgatható.)
Persze mindazok a tételek, melyek M-ből (vagyis a párhuzamossági axióma mellőzésével) levezethetők – Bolyai János szavaival abszolút igaz tételek – mind az euklideszi, mind a hiperbolikus geometriában érvényesek.
Az euklideszi és a hiperbolikus geometria térfogalma közti viszony még érthetőbbé válnék bizonyos, képlet-formában kifejezett tételek tanulmányozása révén. A formulák közlésétől el kell tekintenünk, de megemlítjük, hogy bennük szerepel egy k-val jelölt határozatlan pozitív konstans szám, a Bolyai-geometria paramétere. A k-nak az értékétől függően voltaképp a Bolyai-geometria végtelen sok geometriát foglal magában, mivel a k paraméternek végtelen sok különböző értéke lehet. Az pedig, hogy az objektív világ törvényszerűségeit a k milyen értéke esetén írja le hűen a geometria, csak a gyakorlat döntheti el. Ha k → ∞, akkor a Bolyai-geometria képletei rendre átmennek az euklideszi geometria megfelelő, jól ismert formuláiba. Azt mondhatjuk tehát, hogy az euklideszi geometria a Bolyai-geometria speciális esete.
Néhány szerkesztési feladat is szerepel az Appendixben, ezek között a legmeglepőbb annak az igazolása, hogy a hiperbolikus geometriában – az euklideszi geometriától eltérőleg – van négyszögesíthető kör. Ennek az eredménynek a megértéséhez tudnunk kell, hogy a „körnégyszögesítés” ógörög eredetű szerkesztési feladat. A görög matematika a szerkesztési feladatokhoz egy körző és egy (egyenes élű) vonalzó használatát engedte meg. Euklideszileg szerkeszthetők azok a feladatok, amelyek e két eszközzel megoldhatók. A körnégyszögesítés problémája a következő: adott területű körhöz megszerkesztendő az ugyanolyan területű négyzet. Ehhez nyilvánvalóan az lenne szükséges, hogy körző és vonalzó használatával a kör sugarának ismeretében megszerkesszük annak a négyzetnek az oldalhosszát, mely négyzetnek a területe megegyezik a kör területével. Két évezredet kitevő és számos matematikust foglalkoztató eredménytelen kísérlet után Lindemann német matematikusnak 1882-ben sikerült igazolnia, hogy az euklideszi geometriában a kör nem négyszögesíthető.
Az Appendix utolsó §-ában szerepel a síkháromszög területének hiperbolikus geometriai képlete. Ha ugyanis a háromszög szögösszegét két derékszög összegévé kiegészítő szög ívmértékét – az ún. defektust – δ-val, a háromszög területét Δ-val jelöljük, ekkor a hiperbolikus térben Δ = δk2. E képletből kiolvasható az – a már említett – meglepő tény, hogy a hiperbolikus geometriában van maximális területű háromszög. Ilyen az a háromszög, melynek a defektusa maximális, vagyis egyenlő π-vel. Ezt a háromszöget határháromszögnek nevezzük.
Az Appendix utolsó §-aiban tárgyalt szerkesztések módot nyújtanak arra, hogy körzős-vonalzós abszolút szerkesztéssel megszerkesszük a határnégyszöget és a vele egyenlő területű kört. Vagyis a hiperbolikus geometriában a körnégyszögesítés kvadratúra problémája megoldható. Erre az eredményre az értekezés címe is utal.
Bolyai Jánossal lényegében egy időben fektette le a hiperbolikus geometria alapjait a kazányi egyetem matematika professzora, N. I. Lobacsevszkij (1792–1856). Eltekintve néhány jelölés- és szakkifejezésbeli különbözőségtől, rendszereikben a leglényegesebb eltérés a következő: Lobacsevszkij mintegy szembeállította az euklideszi és a hiperbolikus geometriát, és ez utóbbit részletesen kifejtette. Az Appendixben levő tételek többsége ezzel szemben abszolút jellegű, és csak a legszükségesebb mondanivalóknál választja szét az euklideszi és a hiperbolikus geometriát. Azonban közös jellemzője a két rendszernek, hogy a paraméter végtelen nagy értéke esetén az euklideszi geometriát szolgáltatják.
Egyébként a két rendszer csaknem egyidőben született, és tartalmilag is meglepően egyezik. Ez könnyen magyarázható: a múlt század húszas éveire már annyira megérett a paralelák kérdésének tisztázása, hogy egymásról mit sem tudva és egymástól függetlenül ketten is felfedezték a megoldáshoz vezető utat. Tudjuk, hogy őket megelőzve Gausst is foglalkoztatták ezek a kérdések – itt a helye tehát, hogy részletezzük a fölfedezés időrendiségének kérdését.
Gauss egyik, Bolyai Farkashoz 1804-ben írott levelében még annak a reményének adott kifejezést, hogy az euklideszi 5. posztulátum bebizonyítható. Hosszabb szünet után a múlt század tízes, húszas éveiben vette elő ismét e problémát, időközben valószínűleg sok mindent átgondolt, azonban papírra alig vetett valamit, és eredményeiből semmit sem publikált. Elmélkedésének beszédes dokumentuma Taurinushoz 1824. november 8-án írott levele. Ebben szó szerint a következőt olvassuk: „Az a feltevés, hogy a három szög összege (a háromszögben) 180°-nál kisebb, egy sajátságos, a mi (euklideszi) geometriánktól tökéletesen különböző, de teljesen logikus geometriához vezet; ezt a geometriát teljesen kielégítően kifejlesztettem, s így abban a helyzetben vagyok, hogy bizonyos állandó meghatározásának kivételével, amelyet »a priori« megállapítani lehetetlen, bármely feladatot meg tudok oldani.” Mint már említettük, 1832-ben keltezett válaszlevelében közölte Bolyai Farkassal a háromszög (hiperbolikus geometriai) területi képletének vázlatos levezetését. Nyilvánvaló, hogy ezt ő már előzőleg ismerte. A Gausstól visszamaradt hézagos feljegyzésekből a kutatók meglehetős pontossággal összeállították azt, amit egy új geometriai rendszerről átgondolt. Ez több fontos észrevételt tartalmaz, eredményeit azonban ő sohasem foglalta rendszerbe. Azt nem vonhatjuk kétségbe, hogy zsenialitása révén elgondolásait rendszerré is ki tudta volna építeni, ha figyelmét e cél irányába fordítja. Ha ezenkívül legyőzi afölötti aggodalmát, hogy a nem-euklideszi geometriát a tudós világ – elsősorban filozófiai okokból – támadni fogja, és gondolatait közzéteszi, akkor a térfogalom modern elméletében bizonyára az első hely illetné meg. Így azonban csak annyit mondhatunk, hogy a nem-euklideszi geometriának egyik felfedezője, de nem megalkotója volt.
Bolyai János 17–18 éves korában talán mindazt tudta, ami addig a paralelák kérdésében történt, éppen az apa oktató munkája eredményeként. Bécsben 1820 táján lényegében az ő nyomdokain indult tovább, bebizonyítani iparkodván az euklideszi ötödik posztulátumot. De az is bizonyos, hogy már 1820-ban kezdett érlelődni benne az a gondolat, hogy a párhuzamossági axióma nem bizonyítható be. Erről tanúskodik négy olyan ábra, melyeket ekkor hevenyészve egyik füzetének fél oldalára rajzolt, és amelyek a hiperbolikus geometriában fontos szerepet játszó több fogalom (paraciklus, hiperciklus, párhuzamossági szög, hiperbolikus geometriai határnyolcszög) intuitív elképzelését mutatják. Mintegy hároméves töprengés után írta 1823. november 3-án Temesvárról azt a – már említett – levelét, amely szerint „semmiből egy újj, más világot” teremtett. Ez a levél azonban nem ad pontos felvilágosítást arra vonatkozólag, hogy vizsgálódásaiban eddig az időpontig menynyire jutott. Ugyanis a múlt idejű „teremtettem” szó mellett ott áll a következő sorokban az a megjegyzés is, hogy még „nincs kitalálva”. Nyomozásunkban egy lépéssel tovább jutunk későbbi feljegyzése alapján; mely szerint 1823 végén birtokában volt – „éppen télben éjfél tájban rontván át” – az Appendix 29. §-ában foglaltaknak. Ebben a §-ban szerepel a hiperbolikus geometria legalapvetőbb összefüggése, a párhuzamossági távolság és a hozzátartozó párhuzamossági szög S rendszerbeli formulájának levezetése. Mindezek alapján azonban még mindig nem tudnánk válaszolni arra a kérdésre, hogy mikorra készült el az Appendix egész anyagával, hisz a mű 43 §-ból áll. Azonban az apához 1855. október 4-én írott – s nemrég közzétett – leveléből erre vonatkozólag is kapunk némi útbaigazítást. E levél minket érdeklő mondata szó szerint így hangzik:
„A Gauss régi leveleiben, mint már akkor rögtön is mondottam, úgy emlékezem, még 1824-ben észrevettem, hogy azt ő is átlátta, hogy a lapi Δ (= síkháromszög) terje (= területe), ha mindenik oldal → ∞ is, S-ben csak vég-határos (= véges).” Ez az idézet Gauss „leveleiről” szól. Nyilvánvaló, az egyik levél az, amelyben Bolyai Farkassal közölte az általa talált helyettesítő axiómát, a másik pedig az Appendix vétele után írott válaszlevele, melyben a háromszög területének hiperbolikus geometriai formuláját vezette le. Jelen esetben azonban a mi szempontunkból az „1824.” évi dátum a lényeges, mert ebből arra kell következtetnünk, hogy 1824-ben Bolyai János már ismerte a háromszög területi képletét. Ez pedig – mint mondottuk – az Appendix utolsó §-ában szerepel. Következésképp Bolyai János 1824-ben már az Appendix egész anyagát összeállította.
A továbbiakra nézve annyit ismét tudunk, hogy az így összeállított térelmélet fogalmazványát átadta 1826-ban Wolter von Eckwehrnek. Ha ez a dolgozat birtokunkban lenne, akkor pontos választ tudnánk adni arra a kérdésre is, hogy eddig az időpontig milyen módszerekkel és mennyire dolgozta ki geometriai rendszerét. Nagyon valószínű, hogy az utána következő években Bolyai János egyes bizonyításokat újra átgondolt, finomított, kiegészített. A következő fontos dátum az időrendiség megállapításánál az, hogy 1831. június 20-ra az Appendix különlenyomatai elkészültek.
Lobacsevszkij fölfedezésének időrendűségét – V. F. Kagan és B. L. Laptyev adataira támaszkodva – a következőként vázolhatjuk: 1823-ban Geometria című előadásának kéziratában Lobacsevszkij már világosan kifejtette, hogy a párhuzamos egyenesek posztulátumának bizonyítását célzó addigi összes kísérletek sikertelenek voltak. Ezt követőleg 1826. február 11-én (régi időszámítás szerint) a kazányi egyetem fizikai-matematikai karának egyik ülésén előadást tartott, amely már a nem-euklideszi geometria alapjainak kifejtését tartalmazta. Ez a jelentés azonban – éppúgy, mint Bolyai János első kézirata – elveszett. 1829-ben pedig a Kazanyszkij Vesztnyik című folyóiratban közölte A geometria alapjairól szóló értekezését. Ez – Kagan szavai szerint – „annyira alapos kifejtését tartalmazza a nem-euklideszi geometriának, hogy összes többi geometriai műve már csak ugyanannak az anyagnak átdolgozása és továbbfejlesztése”.
Csodálatos időrendi megegyezése két, egymásról semmit sem tudó kutató fölfedezésének! Ha összevetjük a Bolyai Jánosról és Lobacsevszkijről közölt adatokat, akkor azt kell mondanunk, hogy az elsőbbség kérdésében lehetetlen a sorrendezés: Bolyai János valamivel hamarabb gondolta át értekezésének anyagát, a közzététel elsőbbsége viszont Lobacsevszkijt illeti. Ilyen módon a történelmi tények teljes mértékben igazolják a Bolyai-Lobacsevszkij vagy fordítva: Lobacsevszkij-Bolyai-féle geometria elnevezés tárgyilagosságát.
Az előbbi adatok közlése után nem érdektelen, ha néhány szót fordítunk a Riemann-geometriára. Elöljáróban annyit, hogy Bolyai és Lobacsevszkij fölfedezése után a következő – mégpedig igen jelentős – nem-euklideszi geometria alapjait Bernhard Riemann (1826–1866) ismertette, a göttingeni egyetemen 1854. június 10-én tartott magántanári próbaelőadásán. A próbaelőadásnak megfelelő húsz oldal terjedelmű értekezés (mely nyomtatásban csak 1867-ben jelent meg) vázlatosan egy, a Bolyai-féle abszolút geometriánál is általánosabb geometria alapjait tartalmazza, nem támaszkodva Lobacsevszkij és Bolyai eredményeire. Ezzel kapcsolatban G. Vrănceanu fölteszi azt a kérdést, vajon miért nem tartotta Riemann szükségesnek, hogy előadásában Lobacsevszkijt és Bolyait idézze, holott műveiket „bizonyosan ismerte”. Vrănceanu válaszként azt mondja, hogy talán Riemann nem tudta részletesen követni Lobacsevszkij és Bolyai eredményeit, vagy pedig nem értett egyet az általuk adott hiperbolikus geometriával. De vajon Riemann tényleg ismerte-e Bolyai és Lobacsevszkij tevékenységét? Erre a kérdésre nem tudunk határozott választ adni.
Fel szokták tenni azt a kérdést is, vajon mivel magyarázható, hogy amíg Bolyai és Lobacsevszkij geometriai rendszere olyan nagyfokú megegyezést mutat, addig az ezeket követő Riemann-geometria az előbbiektől lényegesen különbözik, azoknál általánosabb. Véleményem szerint a válasz a következő: a Bolyai-Lobacsevszkij geometria csak egy euklideszi axiómát tagadó rendszer, ebben az értelemben a régebbi térfogalom legközvetlenebb megváltoztatása és kidolgozása viszonylag egyszerű matematikai eszközöket igényel. Riemann n dimenzióra (n = 1, 2, 3, 4, …) általánosította az addig háromdimenziósnak képzelt „tér” elméletét, erősen támaszkodott Gauss felületelméletére (Disquisitiones circa superficies curvas 1827.), továbbá az analízis azon mély módszereire, melyek az 1830-as évek táján kezdtek kialakulni. Bolyai és Lobacsevszkij rendszerük fölfedezése idején nem ismerhették Gauss felületelméletét és az analízis újabb eredményeit.
Itt kell még egyszer visszatérnünk arra a tényre, hogy az Appendix tételeinek többsége abszolút jellegű, vagyis olyan, mely egyaránt érvényes az euklideszi és a hiperbolikus geometriában. E két rendszer szintézise azonban még ennél is magasabb álláspontot képvisel, miként azt Kagan is mondja: Bolyai kijelentései ugyanis „nemcsak az euklideszi és a Lobacsevszkij-Bolyai-féle geometriában érvényesek, hanem a Riemann-féle elliptikus geometriában is [ami ugyancsak Riemanntól ered. – Sz. B.]. Nem túlozunk, ha azt mondjuk, hogy Bolyai a valóságban bármely állandó görbületű tér alapjait megalkotta, vagyis kiválasztotta azt az anyagot, amely tiszta geometriai formában az összes állandó görbületű terekre vonatkozólag közös kifejezést tételez fel. Nem lehet azt mondani, hogy az Appendix felépítése ebben a viszonylatban egész szigorúan megérett, de tartalma rendkívül közel jár ehhez.”
A hátramaradt iratok bizonysága szerint Bolyai János az Appendix közzétételével nem érezte befejezettnek kutatásait. Tudjuk, hogy még gazdag olyan anyaggal rendelkezett, amelyet nem foglalt értekezésébe. Így pl. leleményes számításokat végzett annak a kérdésnek az eldöntésére, hogy geometriai rendszere nem tartalmaz-e ellentmondást. Ellentmondástalan egy axiómarendszer, ha nem lehet axiómáiból egy állítással együtt annak ellenkezőjét is bebizonyítani. Bolyai rendkívül hosszadalmas számításaiban – melyek kézirati hagyatékában voltak találhatók – az ellentmondástalanság kérdését az euklideszi térgeometria ellentmondásmentességére vezette vissza. Módszere azonban végleges feleletet erre a kérdésre nem adhatott. Mindenesetre Lobacsevszkijnek és Bolyai Jánosnak egyaránt érdeme, hogy felismerték e kérdés eldöntésének a fontosságát. Ezt a tényt az utókor számos helyen kiemeli, mint Bolyai János és Lobacsevszkij munkásságának egyik legmélyebb olyan gondolatát, amely az axiomatikus módszerrel kapcsolatos kutatásokat elindította. A későbbi időkben végzett vizsgálatok alapján annyit tudunk mondani, hogy a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria ellentmondástalan, ha az euklideszi geometria ilyen; továbbmenőleg az euklideszi geometria ellentmondás mentes, ha ellentmondás mentes a valós számok aritmetikája.
Foglalkozott Bolyai János a tetraéder-térfogat hiperbolikus-geometriai formulájának a kérdésével is. A problémára Gauss is felhívta válaszlevelében – az apa útján – Bolyai János figyelmét, de Farkas egyik írásának közlése szerint János már előbb, közvetlenül az Appendix kinyomása után „megtalálta a formulát”.
Sok helyen tárgyalt probléma az, hogy a hiperbolikus geometria megalkotása vajon milyen mértékben módosította a tér fogalmának Kant által vallott idealisztikus felfogását. Kant ugyanis a teret és az időt velünk született fogalomnak tekintette, más szóval – szerinte – a tér nem érzéki-tapasztalati, hanem a tapasztalattól független (a priori) szemléleti forma. E fogalom geometriai leírására pedig a két évezred óta sikerrel alkalmazott egyetlen geometriai rendszert, az euklideszit vélte használhatónak, mivel annak semmilyen – addig ismert – fizikai jelenség nem mondott ellent. A mai felfogás szerint azonban a tér nem „a priori”, hanem a tapasztaláson alapuló „a posteriori” ítélet. Az, hogy az euklideszi-geometria kizárólagossága téves, már abból is következik, hogy egyik axiómája (a párhuzamossági axióma) „a priori” nem bizonyítható. Bolyai (éppúgy mint Gauss és Lobacsevszkij) tisztán látta ezt, az Appendixben szereplő „a priori haud unquam decidenda” (= a piori soha el nem dönthető) szavak is utalnak erre. Vagyis arra a kérdésre, hogy a tér milyen szerkezetű, csak a tapasztalat adhat választ. Tehát – miként Alexits György mondja – „Bolyai a valóság viszonyainak vizsgálatánál jogtalannak tartotta az ember önkényes gondolatait ráerőszakolni a világra, mert a világ az embertől függetlenül, objektív valóságként létezik”. Az utóbbi idők gondos vizsgálata az Appendixben levő számos tételről külön-külön is igazolta, hogy azok ellentmondanak a tér Kant-féle idealisztikus értelmezésének. Bolyai korszerű felfogását a kéziratban maradt hagyatékából vett két idézettel is alátámaszthatjuk: „…a különben sok érdemű és szépelméjű KANT erősen alaptalan, s helytelenül el-ficamodva az értelmetlen tant tanálla is állítani: hogy az űr, üdő nem önálló-mi, hanem csak nézlet vagy látványaink idomja (!).” Másutt ugyanezt a gondolatot a közvetkezőképp fogalmazta: „ . . a híres és sok elméjű, derék KANT helytelen véleménye, nézete az időről, elmélve, merő-kórságban születnek … Így az üd, űr … fogalom világos és tiszta, föl-tisztult; s úgy nevezett »idealista philos« (ophusok) azon aggálja: mi szerént tán csak az ő lelkük létezne, rajtuk kívül semmi sem tanálna lenni, merőben el-enyészett.”
A Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria így válhatott a kiinduló pontjává azoknak a fontos és mély vizsgálatoknak, melyeket a szakirodalom röviden „a fizika geometrizálásának” nevez. Azonban az Einstein-féle relativitáselmélet, továbbá a csillagászati és a magfizikai vizsgálatok a múlt század vége óta a Riemann-geometriát és annak messzemenő általánosításait helyezték előtérbe. Lényegében a világ minél pontosabb megismerésének a vágya vezetett a napjainkban is folyamatban levő vizsgálatokhoz, a szemlélettől már teljesen elszakadt különféle absztrakt térelméletekhez. Ezekre gondolva úgy hihetnénk, hogy a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriát már messze túlhaladta a modern fölfogás, és jelentősége csupán abban áll, hogy megindítója volt egy rendkívül jelentős kutatási területnek. Valójában e felfogás téves, mert a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria napjainkban szinte reneszánszát éli: számos alkalmazása van például a magreakciók elméletében és az elemi részecskék fizikájában.
A fejlődésnek ilyen alakulását intuitíve szinte előre látta Bolyai Farkas és Bolyai János. Már az apa fölvetette azt a gondolatot, hogy a tér szerkezetére a bolygók mozgásából lehet következtetni. De ezt az elvet vallotta Bolyai János is, mert egy hátramaradt kéziratában a gravitáció és a geometriai tér kapcsolatát így fogalmazta meg: „…a nehézkedés törvénye is szoros összve köttetésben, foljtatásban tetszik (mutatkozik) az űr termetével, valójával (alkatával) miljenségével”. Ezzel a gondolattal Bolyai János a fizika geometrizálása egyik első úttörőjének tekinthető.
