Ív,
Ív, a geometriában valamely görbe vonal két pont határolta darabja. Ugy mint az egyenes vonalu köznél, itt is azzal a követeléssel találkozunk, hogy az ív hosszuságát egy mérőszámmal jellemezzük. Gyakorlatilag valamely ívet ugy mérünk meg, hogy egy hajlítható mérőszalagot lehetőleg szorosan hozzáillesztünk az ívhez és azután a mérőszalagról olvassuk le az ív hosszuságát. Ha ezt az eljárást elemezzük, könnyen fölismerjük, hogy a mérőszalag, mely nem készülhet soha teljesen hajlítható anyagból, csak egyes pontokban illeszkedik a görbéhez és igy a leolvasott hosszuság tulajdonképen vagy egy az ívbe beleirt, vagy pedig egy az ív körül irt tört vonal hosszusága lesz. Ennek a gyakorlati eljárásnak megfelelőleg állapítjuk meg a geometriában az ív hosszuságának fogalmát oly módon, hogy az ív hosszusága az a határérték, melyhez valamely tetszés szerinti, az ívbe beleirt tört vonal hosszusága közeledik, hogyha a tört vonal egyenes vonalu darabjainak számát minden határon tul szaporítjuk, ugy hogy minden egyes ilyen egyenes vonalu darab minden határon tul kisebbedjék. Hogyha valamely ívnek megfelelőleg ilyen határérték vagy csak a beleirt tört vonal bizonyos választása mellett, vagy pedig egyáltalában nem létezik, akkor ennek az ívnek hosszuságáról nem lehet szó.
A kör és egy tetszés szerinti körív hosszuságát ebből az értelmezésből kiindulva, már az elemekben határozzák meg. Ugyancsak ebből az értelmezésből kiindulva, bizonyos feltételek mellett, melyek kipuhatolása csak részletesebb vizsgálatok tárgyát képezheti, nyerjük, hogy y = f(x) egyenlet által jellemzett görbének valamely s ívének hosszusága ily módon állítható elő:
hol f1(x) az f(x) függvény differenciálhányadosát x0 és x1 pedig az ív kezdő- és végpontjának x-koordinátáit jelentik. Kimutatható azonban, hogy bizonyos esetekben az ív hosszusága akkor is létezik, hogy ha az f(x) függvény egyáltalában nem differenciálható, v. pedig ha differenciálható és az
integrál nem bir értelemmel. Oly görbéket, melyek íve nem állítható elő a fennebbi integrál segítségével, ismertet Scheeffer Lajos Allgemeine Untersuchungen über Rectification des Curven c. értekezésében (Acta mathematica, V. k.).
