Haladvány
Haladvány (progressio). Az oly számsorozatot, melyben bármelyik két egymásután következő, tag különbsége ugyanaz, számtani v. aritmetikai H.-nak nevezzük. Ha pedig bármelyik két egymásután következő tag hányadosa ugyanaz, akkor a sorozatot geometriai H.-nak mondjuk. Ha egy n tagból álló számtani H. az a számmal kezdődik s két egymás után következő tag különbsége d, akkor a H. tagjai rendre a következők:
| a, a + d, a + 2d,..., u = a + (n-1) d, |
s a H. összege
hol
Ha egy n tagból álló geometriai H.az a számmal kezdődik s két egymásután következő tag hányadosa q, akkor a H. tagjai rendre:
| a, aq, ag2,...u = aqn-1 |
s a H. összege
A szó szorosabb értelmében geometriai H. alatt mindig olyant értünk, melynek kezdő tagja az egység. Ebben
Végtelen geometriai H.-nak a következő végtelen sort nevezzük:
| 1 + q + q2 +...+ gn-1 +... |
Ennek összege, ha q abszolut értéke kisebb, mint 1, a következő:
Ha ellenben q abszolut értéke 1, vagy még nagyobb, ugy a végtelen geometriai H.-nak nincs véges és meghatározott összege (széttartó).
A számtani H. fogalmának általánosításai a magasabb rendü számtani H.-ok. A másodrendü számtani H.-ban az egymásután következő tagok különbségei nem egyenlők, hanem egy közönséges számtani H.-t alkotnak. Csak ha e különbségek sorában ujból mindegyik tagból kivonjuk a megelőzőt, az igy nyert második különbségek lesznek állandók. Általánosságban m-ed rendü számtani H.-nak a számok oly sorát mondjuk, hol állandók az m-edik különbségek. P. a közönséges egész számok 4-ik hatványai negyedrendü számtani H.-t alkotnak. E H. és különbségi sorai a következők:
Általában az egész számok m-dik hatványai m-ed rendü számtani H.-t alkotnak.
Ha egy m-ed rendü számtani H. kezdő tagja ao, és a különbségi sorok első tagjai rendre a1, a2, ... am, akkor a H.-n-dik tagja
s az első n tag összege
hol az a-k együtthatói binominális együtthatók. L. Binom.
H. a poetikában a gondolatritmus egyik formája, mikor a párhuzamos mondatok közt tartalmi emelkedés vagy legalább haladás van. P. Szilágyi Miklós a népballada szerint a török seregben:
| Egy elmenetibe gyalogösvényt vágott, |
| Visszajövetibe szekérutat csapott. |
