Másodrendü görbe,
Másodrendü görbe, valamely másodrendü felület tetszőleges síkmetszése, más szóval oly síkgörbe, mely síkjának minden egyenesét két valós vagy képzetes pontban metszi. Minden M. előállítható mint két ugyanabban a síkban fekvő projektiv sugársor képződménye. Két projektiv sugársorban
abcx...
a'b'c'x'...
a'b'c'x'...
ugyanis a megfelelő sugárpárok aa', bb', cc', xx'... metszéspontjai M.-n feküsznek, mely a sugársorok sorozóin is keresztülmegy. A M. öt pontja által teljesen meg van határozva, ugy hogy szabadon választott öt pontja mellett valamely hatodik pontja már bizonyos feltételnek van alávetve, melynek egyik fogalmazása a Pascal-féle tételt (l. o.) adja. Ha P. a M. síkjának A és B a M.-nek két tetszőleges pontja és a PA és PB egyenesek a M.-t még a C illetőleg D pontokban metszik, akkor az A,B,C,D pontok képezte teljes négyszög egyik diagonális pontja maga a P pont, a másik kettő Q és R mindig ugyanazon a p egyenesen fekszik, bárhogyan válaszszuk is szilárd P mellett az A és B pontokat. A p egyenes a P pont polárisa, mig a P a p-nek pólusa a M.-re nézve.
A PQR háromszög minden csúcspontja pólusa a másik kettő összekötő vonalának. Ily tulajdonságu három pont poláris háromszögnek, vagy kapcsolt pólusok hármasának (Tripel harmonischer Pole) neveztetik. Két pont, mely közül az egyik a másiknak polárisán fekszik, konjugált vagy kapcsolt harmonikus póluspárt, két egyenes, mely közül az egyik a másiknak pólusán megy keresztül, kapcsolt harmonikus polárispárt képez. Minden poláris háromszögben két-két csúcspont kapcsolt harmonikus póluspár és két-két oldal kapcsolt harmonikus polárispár. Valamely P pont polárisa a P kapcsolt pólusainak geometriai helye, valamely p egyenes pólusa a p kapcsolt polárisainak burkolója. A p egyenesen fekvő kapcsolt póluspárok összesége, valamint a P ponton keresztülmenő kapcsolt polárisok összessége egy-egy involuciót képez, mely a p-hez tartozó harmonikus pólusok, illetőleg a P-hez tartozó harmonikus polárisok involuciójának neveztetik. E két involució perspektiv helyzetü, ha P a p-nek pólusa.
A M.-n ek metszéspontjai valamely p egyenessel dupla elemei a p-hez tartozó kapcsolt póluspárok involuciójának; ez utóbbi tehát hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus, a szerint, a mint p a M.-t két egymástól különböző valós, két képzetes, illetőleg két összeeső pontban metszi, tehát érinti. A M.-nek érintői valamely P pontból dupla elemei a P-hez tartozó kapcsolt poláris párok involuciójának, ez utóbbi tehát hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus a szerint, amint P-ből a M.-hez két egymástól különböző valós-, két képzetes-, illetőleg két összeeső érintő vonható, az utolsó esetben tehát P a M.-n fekszik. Ha P a p-nek pólusa, akkor a p metszéspontjai a M.-vel összeesnek a P-ből a M.-hez vont érintők érintési pontjaival.
A végtelenben fekvő egyenesnek pólusa a 0a M.-nek középpontja, az 0-hoz tartozó kapcsolt polárisok involuciója az átmérők involuciója, ennek tetszőleges párja kapcsolt átmérői, kettős elemei aszimptotái, mindig valós derékszögü párja tengelyei a M.-nek. A szerint amint a végtelenben fekvő egyeneshez tartozó kapcsolt pólusok involuciója hiperbolikus, elliptikus, illetőleg parabolikus, a M.-t hiperbolának, ellipszisnek, illetőleg parabolának nevezzük. Ha az átmérők involuciója szimmetrikus, tehát kettős elemei egymásra merőlegesek, illetőleg derékszögü, a M. egyenoldalu hiperbola illetőleg kör.
Ha valamely M. síkján kivül fekvő pontot a görbe minden pontjával összekötjük, másodrendü kúpfelületet nyerünk; minden M. tehát egyszersmind kúpszelet (l. o.).
Minden általános M., amennyiben mint érintőinek burkolóját tekintjük, egyszersmind másodosztályu görbe is.
A M. degenerálhat, elfajulhat és akkor két egymást metsző (valós vagy képzetes), vagy két összeeső egyenesből áll. Ez megtörténik mindannyiszor, amikor a M.-t származtató két projektiv sugársor perspektiv helyzetü. Az elfajuló M. nullad-osztályu.
A másodosztályu görbe is elfajulhat és akkor két egymástól különböző (valós vagy képzetes) v. két összeeső pontból áll, jobban mondva közös síkban fekvő két különböző vagy összeeső sugársorból. Az elfajuló másodosztályu görbe nulladrendü.
Analitikai definició. M. a sík ama pontjainak geometriai helye, amelyeknek Descartes-féle koordinátái (x, y) v. általános projektiv koordinátái (x1, x2, x3) valamely másodfoku egyenletnek
1) a11x2+ 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 =0
illetőleg
2) a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a23x2x3+2a31x3x1=0
tesznek eleget.
A M. egyenlete egyszerübb alakot ölt, ha speciális helyzetü koordináta-rendszert választunk, igy az ellipszisnek illetőleg hiperbolának a fő tengelyekre vonatkoztatott egyenlete Descartes-féle koordinátákban
x2/a2 + y2/b2 = 1 illet. x2/a2 - y2/b2 = 1
a parabolának a fő tengelyére és csúcsérintőjére vonatkoztatott egyenlete
y2 = 2px.
A M.-nek valamely poláris háromszögére vonatkoztatott egyenlete.
a1x12+a2x22+a3x32=0;
ha a koordináta háromszög csúcspontjai a M.-en feküsznek, akkor
a1x2x3+a2x3x1+a3x1x2=0
a M. egyenletnek alapja.
A M. elfajul, ha egyenletének együtthatói az
egyenletet kielégítik.
