Koordináták

Teljes szövegű keresés

Koordináták (új-lat.). Valamely pontnak koordinátáin az illető pont helyzetét jellemző számokat értjük. Ilyenek p. a földrajzban a Föld felszinén levő valamely pontnak (városnak, hegycsúcsnak) geográfiai hosszusága és szélessége, az asztronomiában egy csillagnak magassága és azimutja vgy bármely más két csillagászati koordinátája (l. Ég). Hasonlóképen valamely egyenes vonalnak, valamely síknak vagy bármely más geometriai alakzatnak koordinátái alatt szintén oly értékrendszert értünk, mely az illető alakzatot teljesen meghatározza. P. a síkban a kör koordinátáinak a középpont parallel koordinátáit és a kör sugarát használhatjuk. Ugy a pontnak, mint bármely más alakzatnak helyzetét természetesen csak annyiban jellemezhetjük, hogy leirjuk, miként van bizonyos alapul vett szilárd vagy legalább szilárdnak tekintett alakzatokhoz képest elhelyezve.
A legegyszerübb koordináta-rendszernél, a síkbeli parallel K.-nál, a sík pontjait két egymást metsző egyenesre (1. ábra) vonatkoztatjuk. Ezen X'Y és Y'Y egyeneseket koordináta-tengelyeknek nevezzük, O metszéspontjukat pedig a koordinátarendszer kezdőpontjának. Ha a sík valamely P pontján keresztül a tengelyekkel párhuzamos PM és PN egyeneseket húzzuk, akkor a P pont parallel koordinátáit az
x = OM = NP
abszcissza és az
y = ON = MP
ordináta képezi. Ezzel kapcsolatban az X'X tengely az x tengelynek v. az abszcisszák tengelyének neveztetik, Y'Y pedig az y tengelynek v. az ordináták tengelyének. Ha a két tengely egymásra merőleges, akkor a K. rendszert derékszögünek, közönségesnek vagy Descartes-félének mondjuk. Az imént leirt módhoz teljesen hasonlóan a térbeli parallel K.-k esetében a tér P pontját az O kezdőponton (2. ábra) keresztül vont x, y és z tengelyekre vonatkoztatjuk s a pont koordinátáinak az
x = AP = FB = OD = EC
y = BP = DC = OE = FA
z = CP = EA = OF = DB
hosszuságokat nevezzük. Ha a tengelyek mindegyike merőleges a többi kettőre, a koordinátarendszert derékszögünek, ellenkező esetben ferdeszögünek mondjuk. Ugyancsak igen elterjedt K. a polárkoordináták. A síkbeli polár K. esetében a sík pontjait egy O kezdőpontra v. polusra s egy rajta keresztül vont szilárd x iránytengelyre v. polártengelyre vonatkoztatjuk. A P pont polárkoordinátái pedig P-nek az O-tól való r távolsága (radius vector, vezérsugár) s az irányszög (polárszög, anomália), vagyis az a ϕ szög, melyet a radius vector az x iránytengelylyel bezár. Hasonló K. a térben a gömbi v. polár és hengeres v. szemipolár K. Egy másik fontos térbeli rendszer a következő módon adódik. Ha x, y, z alatt derékszögü parallel K.-at értünk, továbbá a, b, c, állandó számértékek, akkor az
egyenlet λ bármely értékénél egy-egy másodosztályu felületet ábrázol, és a λ különböző értékeihez tartozó felületek összessége egy konfokális felületsereget képez. A tér bármely P pontján e felületseregnek három különböző felülete megy keresztül: egy ellipszoid, egy egypalástu vagy egyágu hiperboloid, és egy kétpalástu vagy kétágu hiperboloid. E három felületnek a λ három különböző értéke felel meg, melyek a pont helyzetének jellemzésére használhatók. E három értéket az illető P pont elliptikus koordinátáinak nevezzük. Hasonlóképen nyerhetjük a tér helyett a síkban is az elliptikus K.-at, csakhogy ott a másodosztályu felületek szerepét egy konfokális kúpszeletsereg viseli.
Valamint a tér pontjait három koordinátával s a sík pontjait két koordinátával jellemezzük, ugy egy görbe felületen is számtalan módon két koordinátával jellemezhetjük a pont helyzetét. P. bármely gömbön a pontot egészen hasonló K.-kal jellemezhetjük, mint amilyenek a Földön a geográfiai hosszuság és szélesség.
Végre még az idomok projektiv tulajdonságainak (l. Dualitás) vizsgálatánál leggyakrabban használt K.-ról kell megemlékeznünk, még pedig nemcsak a pontokat jellemző pont-K.-ról, hanem a vonal K.-ról és a sík-K.-ról is. A projektiv tulajonságok vizsgálatára rendszerint a síkban trimetrikus, a térben tetrametrikus K.-at szokás használni, melyek projektiv K.-nak is neveztetnek. Továbbá homogeneknek is mondjuk, mert a vonalak, illetőleg felületek egyenleteinek bal oldalai e K.-nak homogén függvényei. A trimetrikus K. használatánál a sík pontjait egy A1 A2 A3 alapháromszögre és egy E egységpontra vonatkoztatjuk, melynek azonban nem szabad az alapháromszög valamely oldalán lennie. P-nek trimetrikus koordinátái alatt oly három x1, x2, x3 számot értünk, hogy:
x1: x2: x3 =q1/h1: q2/h2: q3/h3,
hol q1, q2, q3 a P pontnak, h1, h2, h3 pedig az egységpontnak az alapháromszög oldalaitól való merőleges távolságai.
E rendszerben tehát két koordináta helyett három koordinátával jellemezzük a pontot, de e három koordinátának csak viszonya jön tekintetbe, azaz (x1, x2, x3) és ( ρx1, ρx2, ρx3) K. ugyanazt a pontot jelentik, bárhogyan válaszszuk is a (zérustól különböző) ρ tényezők. A parallel K. a trimetrikus K.-nak egy különös esetét képezik. Ha t. i. (1. ábra) A1 és A2 az X'Y és Y'Y tengelyeknek végtelenben levő pontjai, A3 pedig az O kezdőponttal, végre E egységpontnak a síknak azt a pontját választjuk, melynek parallel koordinátái: (1,1), akkor az x1, x2, x3 trimetrikus koordinátából képezett
x = x1/x2, y + x2/x3
hányadossok nem egyebek, mint az illető pontnak x, y parallel koordinátái. A sík mindazon pontjai, melyeknek trimetrikus koordinátái egy
u1 x1 + u2 x2 +u3 x3 = 0
homogen lineár egyenletet kielégítenek, együtt egy egyenes vonalat alkotnak.
Az u1, u2, u3 viszonya teljesen jellemzi ezen egyenes helyzetét és ennek trimetrikus vonal-koordinátáit képezi. Ha az alapháromszöget s az egységpontot az előbb említett különös módon választjuk, akkor az
u =u1/u2 v = u2/u2
két közönséges vonal-koordináta nem egyéb, mint -1/a, ill. -1/b, hol a és b az illető egyenes által a koordináta-tengelyekről lemetszett vonaldarabokat jelenti.
A tetrametrikus K. használatánál a tér pontjait egy A1 A2 A3 A4 alaptetraéderre és egy E egységpontra vonatkoztatjuk, melynek azonban nem szabad ama tetraéder valamely oldalán lennie. Az x1, x2, x3, x4 tetrametrikus K.-at az
x1: x2: x3: x4 = q1/h1: q2/h2: q3/h3 : q4/h4
egyenlet értelmezi. Ezek tehát a P pontnak a tetraéder lapjaitól való q1, q2, q3, q4 távolságainak és az E egységpontnak ugyancsak a tetraéder lapjaitól való h1, h2, h3, h4 távolságainak viszonyaival arányos mennyiségek. A tér mindazon pontjai, melyek egy
u1 x1+ u2 x2+ u3 x3 + u4 x4 = 0
egyenletnek eleget tesznek, együtt egy síkot képeznek. E síknak sikkoordinátái alatt az u1, u2, u3, u4 és az y1, y2, y3, y4 homogen K. által jellemzett két pontot összekötő egyenes homogen vonal-koordinátái alatt a következő hat mennyiséget értjük
p12, p23, p31, p14, p24, p34,
ahol p.
p12 = x1 y2 - x2 y1;
s hasonlóképen annak az egyenesnek homogen vonal-koordinátái, melyben az u1, u2, u3, u4 és a v1, v2, v3, v4 homogen, sík-K. által jellemzett két sík egymást metszi:
π12, π23, p31, p14, p24, p34
ahol p.
π12 = u1 v2 - u2 v1.
Ha a mondott két egyenes egymással azonos, akkor
p12: p23: p31: p14: p24: p34 = π14, π24, p34, p12, p23, p31
Továbbá általában
p12 p34 + p23 p14 + p31 p24 0
π12 π34 + p43 p14 + p31 p24 ş 0

 

 

Arcanum Újságok
Arcanum Újságok

Kíváncsi, mit írtak az újságok erről a temáról az elmúlt 250 évben?

Megnézem

Arcanum logo

Az Arcanum Adatbázis Kiadó Magyarország vezető tartalomszolgáltatója, 1989. január elsején kezdte meg működését. A cég kulturális tartalmak nagy tömegű digitalizálásával, adatbázisokba rendezésével és publikálásával foglalkozik.

Rólunk Kapcsolat Sajtószoba

Languages







Arcanum Újságok

Arcanum Újságok
Kíváncsi, mit írtak az újságok erről a temáról az elmúlt 250 évben?

Megnézem