A természet szimmetriái
A természet szimmetriái
Az ókor kiépített egy következetes képet a világról, amely alapján jól tájékozódunk mi, akik a Föld mozdulatlanul szilárd kérgén élünk. Ez az euklideszi geometria, amely szerint a világ háromdimenziós (előre-hátra, jobbra-balra, föl-le), és amelynek alapeleme a kiterjedés nélküli nyugvó euklideszi pont. Ehhez Arisztotelész csupán anynyit tett hozzá, hogy az anyag természetes állapota a nyugalom (a számukra rendelt rétegben: a kő lenn, a vízcsepp fölötte a tóban, a levegő magasabban, a tűzzel világító csillagok még magasabban). Mozgást csak a dolgok rendjébe történő erőszakos beavatkozás kényszeríthet ki. Ez a világrend jól szolgált két évezreden át. Csecsemőkorunk óta ez van beültetve az agyunkba.
Félezer évvel ezelőtt forradalmi változást hozott Kopernikusz: a Föld mozog! Galilei felismerte, hogy akárcsak a nyugalom, az egyenletes mozgás is a dolgok természetes viselkedése. Erre alapozva Newton kidolgozta az anyagi világ mozgástörvényeit, ami lehetővé teszi, hogy a jelenből – a körülmények ismeretében – előre láthassuk a jövőt. Newton univerzumának eleme a téren át változatlan sebességgel sodródó tömegpont. Az új világképre alapozva mozgásba lendült a történelem, zakatolni kezdtek a gépek, nekilódult az ipari forradalom. (Igaz, a 19. században némi fejtörést okozott az elektromágneses mező, az anyagnak ez a finoman és folytonosan eloszló formája. De Maxwell kidolgozta ennek is a mozgásegyenletét, így az besorakozott a fizika klasszikus világrendjébe. A 20. század elején Einstein esztétikusan hozzájuk illesztette a gravitációs mezőt: maga a geometria is dinamikai fizikai változóvá vált.) Égen és Földön, természetben és gyárban kiteljesedett a klasszikus fizika dinamikus világképe. Újra rend lett, szigorúan előírt mozgáspályák rendje az Univerzumban. Mikor a 19–20. század fordulója közeledett, Max Plancknak azt tanácsolta professzora: „Nem érdemes fizikusnak menned. Ott már mindent megoldottak, csak néhány apró részletet kell még tisztázni.”*
A másképpen nem jelzett idézetek forrásai J. R. Brink, Andrew Szanton, F. S. Wagner, Marx György, Kovács László és Czeizel Endre könyvei, amiket a Bibliográfiában felsorol.
Az egyik ilyen homályos zug volt az izzó testek által kisugárzott fény színe. A rendszeretően konzervatív Planck hozzáfogott, hogy ezt is tisztázza matematikailag. És ekkor meglepetés érte. A 19. század utolsó napjaiban, 1900 decemberében tartott berlini előadásában – szinte bocsánatkérően – elmondta, hogy az izzó test sugárzását csak úgy lehet megérteni, hogy benne az energia nem folytonosan oszlik el, hanem kis adagokban, kvantumokban terjed (Nobel-díj). Einstein ezeket a fotonnak elnevezett energiaadagokat is megpróbálta golyókként (tömegpontokként) leírni (Nobel-díj). De mi sugározza ki ezeket az energiakvantumokat? Atomok teszik. Hogy őket erre képessé tegye, Niels Bohr kvantumfeltételeket rótt ki az atommag körül keringő elektronokra: azok csak kiválasztott, elkülönült pályák valamelyikén futhatnak (Nobel-díj). De mi történik akkor, ha egy pontszerű elektront megfogunk, és két kvantumpálya közé eső tiltott területre helyezzük, mit fog csinálni? Louis de Broglie az elektron hullámtermészetét posztulálta (Nobel-díj), amit Davisson és Germer megfigyelése megerősített: a szétválasztott, majd újra egyesített elektronnyalábok erősítik-kioltják egymást, azaz interferálnak (Nobel-díj). A hullámmodellt később Erwin Schrödinger következetes hullámmechanikává fejlesztette (Nobel-díj). Az elektron állóhullám-állapotai lehetővé tették az atomi energiaszintek számszerű meghatározását. De a hullám szertefoszolhat! Hogyan lehet, hogy a megfigyelt elektronnál mindig oszthatatlanul ugyanakkora töltést tapasztalunk? Erre a kérdésre feleletet keresve Max Born a hullámokat úgy értelmezte, hogy azok csak az elektron helyének valószínűségét adják meg (Nobel-díj). Bohr pedig bevezette a komplementaritás elvét: az elektron lokalizált tömegpont is tud lenni (mint egy porszem) és szétterjedő hullám is (mint a fény), attól függően, hogyan nézünk rá. Ezek a 20. század eleji modellek a klasszikus fizikában megszokott képeket akarták ráerőszakolni a mikrouniverzumra, de az tiltakozott ellene: a klasszikus fizika toldozása-foltozása során mindig valami ellentmondásba, tapasztalati anomáliába botlottunk.
Történt ekkor (1925), hogy Werner Heisenberg, egy 24 éves müncheni egyetemi hallgató (akinek még nem volt elég ideje a klasszikus fizikát magában elmélyíteni) merész gondolattal állt elő: a világmagyarázatnál vessük el a fejünkben őrzött klasszicista képeket, összpontosítsuk figyelmünket a megfigyelhető mennyiségekre. A hidrogénszínkép tanúsága szerint a hidrogénatom élesen meghatározott frekvenciájú, intenzitású, polarizációjú elektromágneses hullámokat képes kisugározni, ezért Heisenberg az atomi elektront potenciális adók (antennák) rendszereként írta le, amelyekről a színképvonalak megfigyelt frekvenciája, intenzitása és polarizációja tájékoztat. A megfigyelt antennaamplitúdókat táblázatba rendezte. Erről Göttingában (a német fizikának és akkor a világ fizikájának fellegvárában) beszámolt. Ott mondta meg neki Max Born professzor, hogy az ilyen számtáblázatot mátrixnak illik nevezni. Amit a pozitivista Heisenberg megalkotott, az lett a mátrixmechanika. Igaz voltát nem támasztotta alá semmi filozófia, csak az, hogy működött: pontosan számot adott a spektroszkópiai megfigyelésekről. Born megkérdezte: miért nem doktorál le belőle? Heisenberg szerényen válaszolt: „Nem tehetem, még nincs diplomám”. (Nobel-díj)
Az atomok világáról szerzett új mérési tapasztalatok özönében, az egymás után felbukkanó (gyakran egymásnak ellentmondó) modellek kavargásában, Nobel-díjak esőjében bontakozott ki a kvantummechanika. A nagy kavarodás közepette gyakori vendég volt Göttingában egy absztrakt matematikai gondolkodású angol fiatalember, Paul Adrien Maurice Dirac (Nobel-díj). Ő azt mondta, hogy ne abból induljunk ki, amit elképzelünk (nyugvó geometriai pont, sodródó tömegpont, simán lebbenő hullám), hanem ami létezik. Ez az elektron állapota, de az csak (megszámlálhatóan) végtelen sok számadattal jellemezhető. Az elektron megfigyelt interferenciája arról tanúskodik, hogy két állapot öszszege (szuperpozíciója) is egy lehetséges állapot. Ezért a lehetséges elektronállapotok halmaza egy végtelen dimenziós sokaság, amelyben értelmezve van az összeadás, kivonás, számmal-szorzás, akárcsak a háromdimenziós térbe berajzolt vektornyilaknál. Ezért Dirac ezt a végtelen dimenziós sokaságot állapottérnek nevezte el. Isten veled, háromdimenziós euklideszi tér! Isten veled, newtoni–einsteini téridő! Isten hozott végtelen dimenziós való világunkban!
De ebben a világban is rendet kellett teremteni, mint Eukleidész tette az ókorban három dimenzióban. Ezt a munkát végezte el Neumann János, a Fasori Evangélikus Gimnázium volt diákja, aki vegyészmérnöki diplomával rendelkező, matematikából ledoktorált fiatalemberként szintén Göttingában dolgozott, mint David Hilbertnek, a kor legnagyobb matematikusának tanársegédje. Mit tesz a szerencse: épp Hilbert fejlesztette ki a végtelen dimenziós lineáris (összeadódó) függvények terének a matematikáját, amit ma Hilbert-tér néven ismerünk. Erre alapozva (az állapotteret Hilbert-térnek tekintve) építette ki Neumann János a kvantummechanika matematikai szigorúságú axiomatikáját, ami nagyon más volt, mint a háromdimenziós geometria és a newtoni dinamika. (A kvantummechanika matematikai alapjai, 1931.) Így vált Neumann János a 20. század Eukleidészévé.
Wigner Jenő szerencsés ember volt. Ebbe az izgalmas 20. századba született bele – a téridő egyik legalkalmasabb helyén, Budapesten, 1902. november 17-én. Egy évvel volt fiatalabb, mint Heisenberg. Ugyanabban az évben született, mint Dirac. Egy évvel volt öregebb, mint Neumann. A Fasori Evangélikus Gimnáziumban egy évvel járt Neumann fölött, a két gimnazista jól ismerte egymást. Később mindkettőjüket Németországba sodorta a hazai történelem forgószele, Berlinben jártak egyetemre. Onnan hívták meg Göttingába, hogy ő is David Hilbert tanársegéde legyen. Fiatal, nyitottan kíváncsi fejjel, szemtanúként élte át a nagy vajúdást: a kvantummechanika születését:
„Láttam, hogy a fizikát 1925 körül hogyan forradalmasítja a kvantummechanika.”
Ha a valóság egy végtelen dimenziós állapottérben létezik és ott alakul, akkor miért van az, hogy bennünk mégis egy háromdimenziós tér képzete él? Márpedig ilyen tudattal ment végbe az emberré válás, az építészet kialakulása, a Föld feltérképezése, egész intellektuális fejlődésünk! Ma is gyakorlatilag háromdimenziós világban lépdelünk! Wigner nagyon komolyan vette a kérdést: mi lehet a valóságot leíró állapotok végtelen dimenziós terében az, ami háromdimenzióssá alakítja az emberi gondolkodást?
Wignernek Berlinben írt diplomamunkája a kénkristály szimmetriáival foglalkozott. Professzora azt kérdezte: „Derítse ki, hogy egy kristályban az atomok egyensúlyi helyzete a kristályrács szimmetriapontjaiba esik-e!” Wigner visszaemlékezése szerint: „A kristályok világa csodálatos szimmetriákkal van tele. Én különösen szépnek találtam a kén szimmetriáit. A kénatomok mikroszkopikus viselkedése akkor még szűz terület volt, de én nagyon élveztem a kénkristályok rombuszos szerkezetének földerítését.”
A kutató laboratóriumának munkaasztalán vizsgálja az anyag mozgástörvényeit. Kísérleti eszközeit akár át is vihetné a szomszéd szobába, a mérések révén megmutatkozó mozgásegyenletek ugyanazok maradnának. Távoli égitestek hozzánk eljutó fénye tanúsítja, hogy az atomok és csillagok az Univerzum távoli vidékein is hasonló törvények szerint viselkednek, mint itt a Naprendszerben. A világon nincs kitüntetett megfigyelő. Nincs kitüntetett pont, ahonnan a világ „igazi” énje szebben megmutatkozik. A természetnek ezt a tulajdonságát „eltolási szimmetria” néven tartja számon a fizika. Az sem lényeges, hogy merre fordulunk, mert nincs kitüntetett irány, amelyre be kellene tájolni laboratóriumi mérésünket. Ez az „elforgatási szimmetria”. Az is mindegy, hogy stopperóránkat mikor indítjuk el: az időbeli mozgás lefolyását nem befolyásolja, hogy téli vagy nyári időszámítás szerint, közép- vagy kelet- vagy nyugat-európai óra szerint mérjük az időt, keresztény vagy zsidó vagy mohamedán évszámítást használunk, mert az időnek nincs kitüntetett kezdőpillanata: az egyenletekben csak időkülönbséget számítanak, nem a „kezdet” óta eltelt idő. Ez az „időeltolási szimmetria”. Az sem számít, hogy a mozgó Földön vagy egy másként mozgó űrhajón kutatjuk a fizika alaptörvényeit. Ez a relativitáselmélet által megfogalmazott „inerciális szimmetria”. Mindezek azt fejezik ki, hogy a 3+1 dimenziós téridőben időkezdés, helyzet, irány, sebesség nem tünteti ki a megfigyelőt.
Ezekből a szimmetriákból egyszerű matematikával következik tíz mennyiség szigorú megmaradása: zárt rendszerben állandó az energia, a lendületvektor, a perdületvektor és a tömegközéppont sebességvektora. Ez a tíz megmaradási törvény pedig életbevágóan fontos számunkra! Hiszen az ember biológiai üteme, érzékszerveinek és agyának reakcióideje nagyságrendekkel lassúbb az atomi jelenségek időbeli lefolyásánál, ezért mi a tartós, állandó (egyáltalán nem vagy csak lassan változó) mennyiségekre támaszkodhatunk, azokra vezettünk be elnevezést: munkavégző képesség (energia), lendület (impulzus), perdület (impulzusmomentum), tömegközéppont.
Wigner Jenő ismerte fel annak jelentőségét, hogy a végtelen dimenziós állapottérben a történés törvényei 3+1 dimenziós téridőben ábrázolható tíz szimmetriát mutatnak, és ezek egzaktul érvényesek! Rájuk támaszkodunk mindennapi életünkben is, ezért lett célszerű agyunkban – érzékszerveink támogatásával – három térdimenzió meg egy idődimenzió képét kiformálni.
Wigner még tovább lépett. A fizikát egy jobbkezes és egy balkezes fizikus egyaránt sikeresen művelheti, mert a természet szimmetrikus a háromdimenziós tér tükrözésével szemben is: egy valóságos fizikai jelenség tükörben látott képe is lejátszódhat a Természetben. Ez a „tükrözési szimmetria”. Ebből egy Wigner által bevezetett új fizikai mennyiségnek: a paritásnak a megmaradása adódik. Két tértükrözés egymásutánja már azonosság (mintha nem csináltunk volna semmit), ezért a paritás négyzete egység, a paritás értéke tehát +1 vagy -1 lehet. (-1-nek is +1 a négyzete.) A paritás megmaradása azt jelenti, hogy +1 paritású (tükörszimmetrikus) állapotból nem lesz soha -1 paritású (tükrözéskor jelet váltó antiszimmetrikus) állapot, és megfordítva: antiszimmetrikus (-1 paritású) állapot nem mehet át tükörszimmetrikusba (+1 paritás). Ezzel a kvantummechanikai gondolatmenettel Wignernek az elképzelhető történések (kvantumugrások) felét sikerült kizárnia.
Wigner ezeknél a kiválasztási szabályoknál még továbbment: a végtelendimenziós állapottér 3+1 dimenziós szimmetriáit matematikailag kiaknázta az atomok világában történő kvantitatív tájékozódásra. A matematika az olyan sokaságot, amelyben két elem szorzata is elem, és elem azok megfordítása (inverze) is, csoportnak nevezi. Ugyanígy egy 30 fokos és egy 15 fokos elforgatás egymásutánja is forgatás (45 fokkal). Két szimmetriatranszformáció egymásutánja szintén szimmetriatranszformáció. Egy transzformáció után azt visszafele végrehajtva (nem az óramutató járása szerint, hanem azzal ellentétesen fordulva, nem jobbra, hanem balra lépve) is egy transzformációt kapunk, amely az első transzformáció hatását visszacsinálja, tehát létezik inverz is. Ezért a természet Wigner által tárgyalt szimmetriái csoportot alkotnak. Wigner a csoportelmélet matematikai módszereit felhasználva elegánsan és pontosan kiszámított a mikrovilágban olyan mennyiségeket, amilyeneket korábban csak vesződségesen, numerikus közelítésben vagy egyáltalán nem tudtak kiszámítani. Így nemcsak az összeeső és szétváló energiaszinteket és a kvantumátmenetek („kvantumugrások”) kiválasztási szabályait kapta meg, hanem a színképvonalak frekvenciáit, intenzitásait, polarizációját is számszerűen és elegánsan ki tudta számítani.
Természetesen azoknak, akik az atomok világát is háromdimenziós euklideszi térben próbálták maguk elé képzelni, ezek a végtelendimenziós állapottérben működő kiválasztási szabályok, állapotfüggvényekre alkalmazott csoportelméleti trükkök érthetetlenül riasztóan hatottak. Még Wolfgang Pauli is, a Svájcban dolgozó osztrák fizikus, aki pedig sokban hozzájárult a kvantummechanika kiegészítéséhez (a spin bevezetésével, Nobel-díj), irtózott attól, amit ő csoportpestisnek nevezett el (1929). (A szó német eredetije Gruppenpest, amelyben a -pest végződés talán a matematikai járvány elterjesztőinek szülővárosára is utal.) Hasonlóan kételkedett Erwin Schrödinger, Max von Laue és Max Born is. Róluk Neumann János ezt mondta Wignernek: „Ó, ezek csak régi előítéletek. Öt éven belül minden fizikushallgató az egyetemen fogja tanulni a csoportelméletet.” Így is lett. Pár éve mondta Arthur Wightman princetoni professzor: „Az utóbbi évtizedek során a szimmetriacsoportok varázslótudománya nemcsak mindennapos rutinná vált, hanem olyan mélyen gyökeret vert a fizikusok természetről alkotott képében, hogy már el sem csodálkozik rajta senki.”
Szilárd Leó bátorította Wignert, hogy mindezt írja meg egy közérthető tankönyvben. Wigner Jenő könyvét nyári vakációja során Duna-parti nyaralójukban, Alsógödön írta, az 1931-ben Berlinben jelent meg: Csoportelméleti módszerek az atomszínképek kvantummechanikájában. Ez az atomfizikusok kedvelt könyve, egyetemi hallgatók kedvelt tankönyve lett, amit ma is forgatnak. Jól meg lehet belőle érteni a csoportelmélet matematikáját, és ennek alapján jól lehet tájékozódni az atomok három- és végtelendimenziós világában. Aki ebbe belelendül, hirtelen otthon érezheti magát az elektronok végtelendimenziós állapotterében is! A 21. század fiataljai már a kvantummechanika Wigner által adott tárgyalását tanulják, abban gondolkoznak, azt érzik majd egyszerűnek.
Az azóta kibontakozó kvantumtérelmélet, a nagyenergiájú fizika már olyan absztrakt matematikai kereteket használ, hogy a 20. század második felében szimmetriacsoportok nélkül elképzelhetetlen lett a tájékozódás. Wigner Jenő 1963-ban kapta meg a fizikai Nobel-díjat „az atommag és az elemi részecskék elméletéhez való hozzájárulásáért, különösképpen a fundamentális szimmetriaelvek fölfedezéséért és alkalmazásáért”. Stockholmban a Nobel-díj átvételekor mondott beszédét e szavakkal zárta:
„Ezen ünnepi alkalomból arra szeretném ráirányítani a figyelmet, hogy mennyire tanárainknak köszönhetjük a tudomány iránt mutatott érdeklődésünket, magatartásunkat. Az én történetem Magyarországon kezdődött el a gimnáziumban, ahol matematikatanárom, Rátz László könyveket adott olvasásra, érzéket ébresztett bennem tárgyának szépsége iránt.”
