Számelmélet,
Számelmélet, az analizis ama része, amely egész számok v. egész számokból alkotott számkomplexusok bizonyos, alant részletezendő tulajdonságainak tanulmányozásával foglalkozik. A Sz. élén az oszthatóság fogalma foglal helyet. Az n egész szám osztható a d egész számmal, ha található oly q egész szám, amelynek d-vel alkotott szorzata n-nel egyenlő. E fogalom megállapítása után önként merül fel az az alapvető problema, amely adott egész szám összes osztóinak meghatározására vonatkozik. Valamely n egész szám osztói az n-nél nem nagyobb egész számok sorában keresendők és minthogy ezeknek száma véges, közülök az osztók mindenkor véges számu kisérlet alapján kiszemelhetők. Igen figyelemre méltó körülménynek kell tekintenünk, hogy e problema más úton meg nem oldható; nincs oly analitikai eljárás, amelynek alapján n-ből az első négy alapművelet segítségével, kisérletek nélkül, tehát képlet alapján, n összes osztóit levezethetnők. Azért valamely egész szám összes osztóinak meghatározására szolgáló eljárást egészen új, önálló műveletnek, aritmetikai alapműveletnek kell tekintenünk. Ilyennek tekintendő továbbá az az eljárás is, amely valamely racionális számban foglalt legnagyobb egész szám meghatározására vonatkozik. Ez is, ha végtelen műveletsorokat kizárunk (Fourier-sor), csakis kisérletekből tehető össze és miután a mindenkor megejtendő kisérletek száma véges, szintén aritmetikai műveletnek tekintendő. A Sz. egész számok vagy egész számokból alkotott számkomplexusok oly vonatkozásainak tanulmányozásával foglalkozik, amelyek az első négy alapművelet és aritmetikai műveletek segítségével összetett relációkkal kifejezhetők.
Akármilyen egész szám legyen n, osztóinak sorozatában mindenkor 1 és n előfordul. Ezeket n nem valódi osztóinak nevezzük, szemben az esetleg létező egyéb osztókkal, amelyek a valódi osztók. Ha valamely p egész számnak valódi osztója nincsen, akkor e felbonthatatlan számot törzsszámnak nevezzük. A racionális egész számok aritmetikájának alaptétele abban áll, hogy két szám a és b szorzata akkor és csakis akkor osztható valamely törzsszámmal, p-vel, ha vagy a v. b vele osztható. A törzsszámoknak e tételben kifejezett tulajdonsága már teljesen jellemzi is őket. Ha ugyanis a p szám valamely szorzatnak csak akkor osztója, ha osztója e szorzat valamelyik tényezőjének, akkor ebből már p felbonthatatlanságára vagyis arra következtethetünk, hogy p-nek valódi osztója nincsen. E tételekből tüstént következik a Sz. amaz alapvető tétele, mely szerint valamely egész szám vagy törzsszám, vagy ha nem törzsszám, mint törzsszámok szorzata állítható elő, még pedig csak egyféleképen. Ha figyelmen kivül hagyjuk azt a követelést, hogy n törzstényezői pozitivok legyenek és vizsgálatunkba befogadjuk a negativ egész számokat is, akkor törzstényezőkre való felbontásának egyértelmüsége megszünik, mert e felbontásban páros számu tényező előjele megváltoztatható a nélkül, hogy a felbontás helyessége megszünnék. Ha az oly számokat, amelyeknek hányadosa egység, tehát +1 vagy -1, asszociált számoknak nevezzük és ez asszociált számokat equivalenseknek tekintjük, akkor e megállapítás után a felbontás egységes voltát ismét helyreállítottuk.
Ha az egység 4-ik gyökeiből +1, -1, +i, -i-ből mint főegységekből vezetünk le számokat olyként, hogy amaz a+bi számok összességét tekintjük, amelyekben az a és b együtthatók racionális egész számok, a komplex egész számok tartományát nyerjük. E számok tartományában tökéletesen hasonló viszonyok forognak fenn, mint a racionális egész számok tartományában. Itt is minden számnak csak véges számu osztója van, amely bizonyos igen egyszerü diophantusi egyenletnek megoldása útján kapható. Itt is vannak egységek, azaz oly egész számok, amelyek 1-nek és igy bármely egész számnak osztói; ez egységek száma azonban itt 4 és az egységek nem egyebek, mint +1, -1, +i, -i. Ennek következtében tetszés szerinti komplex egész számnak ω-nak 4 asszociált értéke van; ω, - ω, iω, -iω, amelyet ismét equivalensnek veszünk. Itt is vannak felbonthatatlan számok, azaz oly számok, melyeknek egyedüli osztóik az egységeken kivül asszociált értékeik; e felbonthatatlan számok ismét a törzsszámok alaptulajdonságait mutatják, aminek következtében bármely komplex egész szám megint mint törzstényezők szorzata egy és csak egyféleképen állítható elő. Érdekes, hogy amig a (4n+3)-alaku racionális törzsszámok a komplex egész számok tartományában törzsszám jellegüket megőrzik, addig a 2 és a (4n+1)-alaku valós törzsszámok e tartományban összetett számok. Végül még megjegyezzük, hogy a komplex egész számok elmélete valójában az (a,b) kételemü egész számokból alkotott értékrendszerek elméletének tekintendő, amely értékrendszerek összekapcsolásának különböző módjai egyszerübben fejezhetők ki az i szimbolum használata mellett, de hangsúlyozzuk, hogy e szimbolum használata nem feltétlenül szükséges.
A további általánosítás legközelebbi lépése most már abban áll, hogy nem ugy, mint Gauss tette, az egység 4-ik gyökeiből, hanem az egység p-ik gyökeiből vezetünk le egész számokat. Valóban ezt az utat követte Kummer, midőn az u. n. körosztási tartományok elméletet kifejtette. Ha x tetszőleges primitiv p-ik egységgyök, akkor ama ao+a1x+a2x2+...+ap-1xp-1 alaku számok, amelyekben az ao, a1, ..., ap-1 racionális egész számok ismét egész számoknak tekinthetők, mert összességök egész műveletek alkalmazása mellett reprodukálódik. Itt is, mint a Gauss-féle közönséges komplex számoknál a fő egységek 1, x, x2, ... xp-1, amelyekből a tartomány számait bizonyos (a6, a1, ..., ap-1) egész számokból alkotott számkomplexus segítségével levezetjük, a szó aritmetikai értelmében is egységek, t. i. 1-nek osztói. De az egységek dolgában itt már igen lényeges eltérés mutatkozik az eddig tapasztaltakkal szemben. Itt ugyanis az 1, x, x2, ..., xp-1 egységeken kivül még végtelen sok más egység is mutatkozik, valahányszor p > 4. Itt tehát minden egész számmal végtelen sok vele asszociált és igy oszthatóság tekintetében vele teljesen equivalens érték lép fel. Ha most ismét törzsszámnak az olyan számot nevezzük, amely a vele asszociált számokon és az egységeken kivül más számmal nem osztható, tehát a felbonthatatlanság jellegével birnak, egy felette fontos jelenséget észlelhetünk, t. i. e felbonthatatlan számok általánosságban már nem birnak avval az alaptulajdonsággal, amely a törzsszámokat az eddig tárgyalt számtartományokban jellemezte, hogy t. i. valamely szorzat velük csak akkor osztható, ha tényezőinek valamelyike vele osztható. Itt oly π felbonthatatlan számok is képezhetők, amelyek valamely αβ szorzatnak valódi osztói, a nélkül, hogy e szorzat valamelyik tényezője vele osztható volna. Ez oly anomália, amelynek igen mélyre ható következményei vannak, egyebek közt p. az, hogy a körosztási tartományban az egész számok felbonthatatlan tényezők segítségével való előállítása még akkor is többféleképen eszközölhető, ha az asszociált tényezőket equivalenseknek tekintjük, amivel a tartomány aritmetikai tárgyalásának alapja teljesen megrendül, mert megszünik amaz analogia a racionális egész számok elméletével, amely az eddigi tárgyalás útját kijelölte. Kummer volt az első, aki ezt a felette nevezetes jelenséget észrevette (1844) és ugyancsak ő volt az, aki valóban geniális módon utat talált ez anomália megszüntetésére és a közönséges Sz.-tel való analogiának teljes helyreállítására. Ez az út pedig az volt, hogy a tárgyalandó körosztási tartományhoz bizonyos, tőle ideális törzstényezőknek nevezett számokat adjungált, amelyeket kongruenciák segítségével értelmezett és amelyek valódi algebrai számokkal is pótolhatók. E valódi algebrai számok azonban nem a tárgyalt körosztási tartomány számai, hanem egy ettől idegen, algebrai számokból álló racionális tartományhoz tartoznak. Ezen ideális primtényezők adjunkciója után ismét helyre áll a felbonthatatlan tényezőkre való felbontás egységessége és vele együtt az az analogia a közönséges számokkal is, amelynek megszünése az ideális törzstényezők bevezetését szükségessé tette. Kummer az ő módszerét kizárólagosan csak körosztási tartományokra alkalmazta. A körosztási tartományban tapasztalt eme szétválása a felbonthatatlan szám és a törzsszám fogalmának természetesen akkor is mutatkozik, midőn tetszőleges algebrai számmal definiált racionális tartomány egész számait vizsgáljuk. Ez általánosabb számtartományok elméletét Dedekind és Kronecker fejtették ki. Dedekind minden számot ama számok összességével pótolja, amelyek vele oszthatók. Az ekként talált végtelen számkomplexusokat ideáloknak nevezi; még pedig fő ideáloknak, ha az illető szám, amelyet az ideál pótol, a tárgyalt racionális tartományhoz tartozik, különben pedig csask ideálnak. Ez ideálok meglehetősen kiterjedt és bonyolódott elméletének kifejtése után sikerül neki ismét bebizonyítania azt az alapvető tételt, hgoy minden ideál egy és csak egyféle módon állítható elő mint felbonthatatlan vagy primideálok szorzata. Dedekind módszere nehézkes és azonkivül is elhagyja az aritmetika talaját, amidőn végtelen sok egész számból álló komplexusokat hoz a tárgyalásba.
Azért Kronecker igazi érdemet szerzett, midőn ugyanezt az elméletet a legegyszerübb aritmetikai segédeszközökkel igen áttekinthetően fejtette ki oly módon, amely még messze menő általánosításokat (a többváltozós algebrai függvények tárgyalására) is megenged. Kronecker sem ideális törzstényezőket, sem pedig ideálokat nem adjungál, hanem csak határozatlanokat, amelyekből bizonyos módon alkotott lineár-alakok, az u. n. primdivizorok segítségével igen egyszerü úton fejti ki ugyanazokat az eredményeket, amelyeket Dedekind a felette bonyodalmas és elvont ideálapparátussal tud csak kifejteni.
Az algebrai számtartományok elmélete felöleli az u. n. alakok elméletét és ezekkel együtt a diophantusi egyenletek általános elméletét is. Felemlítendők még a kongruenciák elmélete, amelyekben megint a binom kongruenciák vagy maradékok elmélete bir kiváló fontos szereppel; továbbá az analitikai Sz., amely az analizis teljes apparátusának felhasználásával az aritmetika sajátos talaját ugyan elhagyja, de igen mélyen fekvő aritmetikai kérdések megoldásában ez idő szerint nem nélkülözhető.
