Pascal-féle tétel.
Pascal-féle tétel. Ez a következő: Valamely kúpszeletbe beirt bármely egyszerü hatszögben az átellenes oldalak metszéspontjai egy egyenesen vannak. Ábránkban az ABCDEF hatszögben, mely egy ellipszisbe van irva, az átellenes oldalak: AB és DE, melyek egymást M pontban, továbbá BC és EF, melyek egymást N pontban, végre CD és FA, melyek egymást P pontban metszik. Az M, N és P csakugyan egy egyenesen vannak, mely m-mel van jelölve. A tétel megfordítása is igaz, s a következő: Ha valamely hatszögben az átellenes oldalak metszéspontjai egy és ugyanazon m egyenesen vannak, akkor a hatszögnek hat szögpontján keresztül egy kúpszelet rajzolható. Minden hatszög, melynek e tulajdonsága van, Pascal-féle hatszögnek (Hexagramma mysticum, hexagramma mirificum) neveztetik, a neki megfelelő m egyenes a Pascal-féle hatszög Pascal-féle pontjának.
Valamely kúpszeletnek 6 tetészszerü pontjából a szögpontok sorrendjének különböző megállapításával 60 egymástól különböző Pascal-féle hatszög képezhető, melyek egymással figyelemre méltó kapcsolatban vannak. Igy p. Steiner azt találta, hogy az ABCDEF, ADCFEB és AFCBED hatszögeknek, melyek egymásból a nem szomszédos B, D és F szögpontok ciklikus felcserlélse által keletkeznek, a Pascal-féle egyenesei egy pontban találkoznak. Hasonló módon a szóban forgó 60 hatszögnek mindegyikéhez található más kettő ugy, hogy mind a háromnak Pascal-féle egyenes tehát hármasával 20 Steiner-féle pontban találkozik. Bármely Steiner-féle ponton keresztül három oly Steiner-féle egyenes húzható, melyek mindegyike még más három Steiner-féle pontot tartalmaz, tehát összesen négyet. A Steiner-féle egyenesek száma 3×20/4 = 15. Továbbá a 20 Steiner-féle ponton kivül még más 60 olyan pont létezik, melyekben három-három Pascal-féle egyenes találkozik. E 60 Kirkman-féle pont oly helyzetü, hogy minden Steiner-féle ponton keresztül egy és csakis egy oly Kirkman-féle egyenes húzható, mely három Kirkman-féle pontot tartalmaz. A 20 Kirkman-féle egyenes négyesével oly 15 Salmon-féle pontban találkozik, hogy viszont közülök minden egyes Kirkman-féle egyenesen három-három található. De evvel a Pascal-féle hatszög teljes doma még koránt sincs kimerítve.
