Baricentrikus kalkulus.
Baricentrikus kalkulus. Alapelvei és alkalmazásai a következő c. klasszikus munkában vannak letéve. Der barycentrische Calcul ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die Entwickelung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet von A. F. Möbius, Leipzig 1827. E munka az I. szakaszban a baricentrikus kalkulusnak és egy erre alapított, akkor egészen uj analitikai geometriának kifejtését adja. A kiinduló pont a következő tétel: A térben tetszőlegesen elhelyezve legyen adva n pont A, B,..., N; továbbá ugyanannyi számérték a, b,.., n, a melyeknek összege s ne legyen egyenlő a zérussal, akkor mindig egy és csakis egy S pont található ama tulajdonsággal, hogy az adott pontokon és az S ponton keresztül fektetett tetszőleges irányu parallel egyeneseket bármely síkkal az A', B',. . . , N', illetőleg S' pontokban metszve:
(1). AA' + b. BB', + . . . + n. NN' = s. SS'.
Ha az a, b, . . ., n., s számok az A, B, . . ., N, illetőleg S pontokban elhelyezett sulyok mérőszámait jelentik, akkor S az adott pontrendszer sulypontja. Az (1) alatti egyenlet egyes tagjai szorzatok, ezeknek első tényezői numerikus számértékek, második tényezői parallel egyeneseken fekvő vonaldarabok, melyeknek kezdőpontjai adott A, B,..., N pontok, illetőleg a talált S pont, mig végpontjai A', B',... N' és S' egy és ugyanazon síkban feküsznek. E vonaldarabokat a kezdőpontokat jelölő betükkel fejezhetjük ki, ugy hogy az (1) alatti egyenlet rövidebben igy irható:
aA+bB+...+nN= sS.
Az ily röviditett kifejezésekkel való számolást nevezi Möbius baricentrikus, azaz a sulypont fogalmából levezetett kalkulusnak. Ily egyenletekre alkalmazható algebrai operációk a következők: a) Az egyenlet mindkét oldalához egyenlőket hozzáadhatunk vagy belőle kivonhatunk; csakhogy a hozzáadandó vagy kivonandó nem lehet puszta számérték, hanem egy pont, vagy pontok agregátuma a megfelelő koefficiensekkel. b) Az egyenlet mindkét oldalát egyenlőkkel szorozhatjuk vagy oszthatjuk; csakhogy a szorzó vagy oszto nem tartalmazhat pontokat, hanem kell, hogy puszta számérték legyen. A B. összes egyenletei ama közös tulajdonsággal birnak, hogy a pontokat vagyis a pontokon keresztül menő parallel vonaldarabokat jelölő betük elhagyása után is helyes egyenletek maradnak. Ha semmi egyebet sem akarunk jellel kifejezni, mint azt, hogy egy bizonyos S pont egy adott pontrendszernek sulypontja, vagy hogy két pontrendszer egy és ugyanazon sulyponttal bir akkor ezt az «≡» jel helyett a «» jelet használva igy fejezzük ki:
aA+bB+cC+... = S
illetőleg
aA+bB+cC+... = ... fF+gG+...
ahol a koefficiensek összege a« » jel két oldalán általában már nem egyenlő.
Az az észrevétel, hogy egy sík tetszőleges három pontjának mindig oly sulyokot tulajdoníthatunk, hogy a síknak megadott bármely negyedik pontja mint az első háromnak sulypontja tekinthető és hogy a három sulyból képezhető viszonyszámok a négy pont viszonylagos helyzetéből csak egyféleképen határozhatók meg: az egy sikban fekvő pontok meghatározására szolgáló uj módszerre vezette Möbiust. A három pontot, mely a többinek meghatározására szolgál, alappontnak, összekötő vonalaikat alapvonalaknak, az alappontok képezte háromszöget alapháromszögnek, végre ama viszonyszámokat, melyek az alappontok sulyai, v. amint ezentul mondja: koefficiensei közt fennállanak, a pont koordinátáinak nevezi. Hasonló módon határozza meg az egyenesen fekvő pontokat két alappont segítségével és a térbeli pontot, melynél négy alappont vált szükségessé tehát hat alapvonal, négy alapsik és egy alaptetraeder létezik.
A pontok meghatározása következőkép történik:
1. Az egyenesben. Az alappontok A és B, tetszőleges P pont kifejezésére:
P (három vonal) pA+qB.
2. A síkban. Az alappontok A, B és C, a P pont kifejezése:
P három vonal pA+qB+rC.
3. A térben. Az alappontok A, B., C és D. a P pont kifejezése:
P hármas vonal pA+qB+rC+sD.
Az összefüggést a koordináták és a P pontnak egyenesbeli, sikbeli, illetőleg térbeli helyzete között, rendre megadják a következő egyenletek:
p: q=BP: PA
p: q:r=PBC: PCA: PAB
p: q: r: s = BCDP: CDPA: DPAB: PABC,
melyek egyrészt a koefficiensek, másrészt a P pont és az alappontok meghatározta vonaldarabok, háromszögterületek, illetőleg tetraederköbtartalmak mérőszámai között fenállanak. Megjegyzendő még, hogy e mérőszámok viszonyai pontosan meghatározott előjelekkel veendők, a mennyiben Möbius azt az előtte már másoktól is használt eljárást, mely szerint egy vonaldarab pozitiv vagy negativ előjelét, a végpontokat jelölő betük különböző sorrendjével fejezik ki, e munkában mindenütt alkalmazta és ugy háromszögekre, mint tetraederekre is kiterjesztette.
Görbe vonalak kifejezését nyerjük, ha a koefficienseket nem adott számértékeknek, hanem egy változó v. parameter tetszőleges függvényeinek tekintjük. Akkor a P = pA+qB+rC sikgörbének, a P=pA+qB+rC+sD ellenben térgörbének kífejezése, még pedig mind a két esetben egyenesnek, illetőleg kupszeletnek kifejezése, ha a koefficiensek a v-nek lineáris, illetőleg quadratikus függvényei. Görbe felület kifejezését adja a P=pA+qB+rC+sD általában akkor, ha a koefficiensek két egymástol független, v és w parameternek tetszőleges függvényei. A felület sík, illetőleg másodrendü felület, ha e függvények lineárisak, quadratikusok.
Az átmenetet baricentrikus kifejezésekről Descartes-féle koordinátákra vagy megfordítva, a következő képletek adják. Legyenek a P, A, B, C, D pontoknak tetszőleges Descartes-féle rendszerre vonatkoztatott koordinátái rendre: x, y, z; a, a', a"; b, b', b"; ... és a P baricentrikus kifejezése: P három vonal pA+qB+rC+sD, akkor az említett képletek egyrészt:
másrészt:
p:q:r:s+[(x-b)(y-c') z-d")]: - [x-c)(y-d')]:[(x-d)(y-a')(z-b"):[(x-a)(y-b')(z-c")]
ahol az egyenlőség jelének jobb oldalán álló kifejezések harmadfoku determinansoknak ismeretes rövidített jelei. A sikra, illetőleg egyenesre nézve a megfelelő kevesebb tagu képletsorozatot nyerjük.
A II. szakasz mint idomok rokonságát tárgyalja az egyenlőség és hasonlóságot, a hasonlóságot, az affinitást, az egyenlőséget és a kollineációt. Ez utóbbi rokonság előkészítésére szolgál két fejezet a kettős viszonyról, ennek egy általánosításáról (Vieleckschnittverhältniss) és a geometriai hálókról; befejezését képezi egy fejezet a rövidített B.-ról. A III. szakasz tartalmazza a B. alkalmazását a kúpszeletek több tulajdonságának (Möbiusféle kriteriumok, átmérők, középpont, aszimptoták, polárreciprocitás) és a dualitás elvének kifejezésére.
A baricentrikus koordináták, helyesebben a baricentrikus koefficiensek az első homogén koordináták és mint ilyenek kiváló történelmi érdekkel is birnak, noha nemsokára a homogén koordináták és a homogén egyenletek bevezetése után jelentőségükből veszítettek. Ha az általános projektiv koordinátáknál egységpontul az alappontpár alapháromszög-, illetőleg alaptetraeder sulypontját választjuk, akkor mint speciális projektiv koordinátákat a baricentrikus koordinátákat, illetőleg koefficienseket nyerjük. Megjegyzendő még, hogy az általános projektiv koordináták csirája már a B.-ban benne foglaltatik.
