Abszolut geometria.
Abszolut geometria. (Nem euklidesi, Pangeometria.) A legujabb korig az «Euklides elemei»nek elején álló definiciók, posztulátumok és axiómák szolgáltak kizárólagosan a tudományos geometria épületének szilárd alapul. Korunk kritikus szelleme ezt az alapot szigoruan megvizsgálva nem mindegyik kövét találta szükségesnek a geometria fölépítéséhez. Hazánkfia Bólyai János (Bólyai Farkas «Tentamen» 1832) és Lobacsevszky orosz tudós (Kazaner Bote 1829) egyidejüleg és egymástól függetlenül megállapítottak egy következetes kifogástalan geometriát, mely mellőzi Euklidesnek azt a posztulátumát, hogy két ugyanazon a síkon fekvő egyenes mindig messe egymást, mihelyt egy harmadik metsző egyenessel bezárt belső egyoldali szögeik összege kisebb két derékszögnél. Velök egyező eredményekre jött már a mult század végén a nagy német matematikus, Gauss (l. összes munkáiban, Schumacherrel folytatott levelezéseit). Még tovább ment Riemann (Abhandl. d. Ges. d. Wiss. Gött. 1867), ki a határtalanság és végtelen nagyság fogalmait élesen megkülönböztetve megállapította a véges nagyságu, határtalan tér geometriáját (szolgáljon például a véges nagyságu, határtalan tér fogalmának megértésére mint analogia az egész körvonal v. az egész földfelület, melyek véges nagyságuak s egyszersmind az elsőnek, noha vonal, nincsenek végpontjai, a másodiknak, noha felület, nincsenek határvonalai).
Az így kiszélesített alapon álló A.-i rendszerben az Euklidesé, mint speciális tag benfoglaltatik, és szemben az általánosabb Bólyai és Riemann geometriákkal, melyeket sorban hiperbolikus, illetve elliptikusnak is neveznek, parabolikus névvel jelölik. Az A. magát az euklidesit uj világításba helyezi s arról győz meg, hogy ez utóbbi nyujtja a lehető legegyszerübb térszemléletet; becsét emeli, hogy az euklidesi alapon állót uj belátásokkal gazdagítja: így péld. Beltrami (Annali di mat. Ser. II. T. II.) szerkesztett az euklidesi rendszerben egy görbe felületet (az ugynev. pszeudoszferát), melynek geometriája azonos a Bólyai sík-geometriájával. Az A. más irányban is bővült. Az egyméretü egyenes, a kétméretü sík, s a háromméretü tér geometriájának kölcsönös viszonya rávezetett az akárhány (n) méretü homogén sokaság ama fogalmára és tudományos rendszerére, melynek az előbbiek csak egyes tagjai.
