Projektivitás
Projektivitás (lat.) v. projektiv rokonság, két első foku alapalakzatnál (l. Alapalakzat) azoknak oly egymásra való vonatkoztatása, hogy az egyik bármely elemének a másikban egy és csak egy elem felel meg, még pedig oly módon, hogy az egyik alakzat bármely négy elemü csoportjának a másik alakzatban ugyanoly kettős viszonnyal (l. o.) biró csoport felel meg. Két n-ed foku (n = 2,3) alapalakzat akkor projektiv, ha az egyik bármely (n - 1)-ső foku alapalakzatának a másikban épp oly foku, vele projektiv alapalakzat fele meg. Ezen egymásnak megfelelő (n - 1)-ső foku alapalakzatok sorozóit egymásnak megfelelő elempároknak tekintve, az igy megállapított rokonság szintén P. Ily módon p. két pontsík P.ához kapunk egy hozzátartozó P.-t ugyanazon két sík sugarai között, v. két ponttér P.ához egy hozzátartozó P.-t a két tér síkjai között.
Két különnemü projektiv alapalakzatot perspektiv helyzetünek mondunk, ha megfelelő elemeik egymásban feküsznek. Két egynemü, de nem egymásban fekvő projektiv alapalakzatot pedig akkor mondunk perspektiv helyzetünek, ha létezik oly másnemü alapalakzat, melylyel mindkettő perspektiv helyzetü. Bármely két projektiv alapalakzathoz található az alapalakzatok oly sorozata, melyben két-két szomszédos tag perspektiv helyzetü és melyben az adott két alakzat kezdő- és végtag. Két első-, másod-, illetve harmadfoku alapalakzat P.-a teljesen meg van határozva, ha az egyik alakzatnak három, négy, illetve öt általános helyzetü eleméhez meg vannak adva a másik alakzatnak megfelelő elemei. Ekkor ugyanis minden további elemhez a neki megfelelő elem lineárisan megszerkeszthető.
Ha a két egymásra vonatkoztatott alakzatban a megfelelő elemek hasonnemüek, tehát pontnak pont, síknak sík, sugárnak sugár felel meg, akkor a P.-t kollineációnak (vagy homográfiának) nevezzük, ellenkező esetben reciprocitásnak. A következőkben az egynemü alakzatok P.-ára, vagyis a kollineációra szorítkozunk, különnemü alakzatok P.át l. Reciprocitás.
Ha a két kollineár n-ed foku (n = 1, 2, 3) alapalakzat egyikének n + 2 általános helyzetü eleme rendre a másik alapalakzatban neki megfelelő elemmel összeesik, vagyis önmagának megfelelő, akkor a két alakzat azonos, vagyis minden elem összeesik a megfelelőjével. Ha ellenben csak n + 1 általános helyzetü elem felel meg önmagának, akkor az alakzatok közös sorozóval birnak és egyesített kollineár alakzatoknak neveztetnek.
Két egyesített projektiv első foku alapalakzatban mindig két (valós vagy képzetes) önmagának megfelelő, vagy dupla elem létezik. Ha egy megfelelő elempárt A, A'-val, a két dupla elemet G és H-val jelöljük, akkor a (G H A Á') = Δ kettős viszony állandó értékü és a P. karakterisztikájának neveztetik. Ha Δ = - 1, akkor a két alakzat involuciót (l. o.) alkot.
A másodfoku alapalakzatok közül p. két egyesített pontsík általában háromszöget képező három dupla ponttal bir. E háromszög oldalai dupla elemei ama P.-nak, melyet az adott P. a két egyesített síkrendszer sugarai között megállapít. Ha két egyesített kollineár síkrendszerben három egy s egyenesen fekvő dupla pont létezik, akkor s-nek minden pontja dupla pont. Azonkivül találunk még egy C pontot, mely minden rajta keresztül menő sugárral együtt önmagának felel meg. Ez esetben a két síkrendszert centrálisan kollineárnak mondjuk és s-et a kollineáció tengeélyének, C-t a kollineráció centrumának nevezzük.
Két kollineár térrendszerben általában tetraédert képező négy dupla pont van. E tetraéder oldallapjai és élei szintén önmaguknak felelnek meg, amennyiben a bennük fekvő megfelelő elempárok egyesített kollineár rendszereket képeznek, melyeknek dupla pontjai a tetraédernek ama síkban, illetve élben fekvő csúcspontjai. Ha két egyesített kollineár térrendszerben négy egy
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
