Lánctört,
Lánctört, az analizisben és a matematika egyéb ágaiban is igen gyakran előforduló alakzat. Igy p. ha 289/600 számlálóját és nevezőjét 289-cel elosztjuk, a számlálóban 1, a nevezőben pedig 
lesz, tehát
lesz, tehát
és ha most a 22/289 számlálóját és nevezőjét ismét 22-vel osztjuk, akkor helyébe 
lép és ha most az előbbi eljárást folytatjuk, akkor végre
lép és ha most az előbbi eljárást folytatjuk, akkor végre
A jobb oldalon álló lánctörtet helykimélés végett igy is irhatjuk: [2, 13, 7, 3], vagy igy:
Minden törtszám ezen a módon alakítható át lánctörtté. Igy általában, ha a a tört számlálója és b nevezője
ahol q0 akkor különbözik a 0-tól, ha a > b.
Az 1/q1, 1/q2... a lánctört részlettörtei. Nem szükséges, hogy minden részlettört számlálója 1 legyen. Ha 1 a számláló, akkor a lánctört közönséges lánctört, ha a részlettörtek számlálói és nevezői tetszőleges számok, a lánctört általános lánctört. Ha az a/b lánctört alakzatában valamelyik részlettörtnél, p. a k-iknál megállapodunk, akkor a lánctört k-ik közelítő törtét kapjuk. Igy p. az előbbi 289/600 első közelítő törtje: 1/2, második közelítő törtje
harmadik közelítő törtje 92/191 és utolsó közelítő törtje maga az eredeti tört. A közelítő törtek előállításának egyszerü algoritmusa van. Ha ugyanis Sk/Nk a k-ik közelítő tört, akkor: Sk=qkSk-1+Sk-2 és éppen igy: Nk=qkSk-1+Sk-2. Ezen képletek segítségével a közelítő törteket egymás után előállíthatjuk. A közelítő törteknek igen fontos tulajdonsága, hogy SkNK-1-Sk-1NK vagy +1, vagy -1; ezen a tulajdonságon alapszik az elsőfoku határozatlan egyenlet megoldása a lánctörtek segítségével. A közelítő tört elnevezés pedig onnan ered, hogy a tört értéke mindig két közelítő tört között van; a páratlan rendü nagyobb, a páros rendü kisebb, mint az adott tört és ha az adott törtet jobban meg akarjuk közelíteni, mint amennyire a közelítő törttel tehetjük, kénytelenek vagyunk olyan törtet használni, melynek nevezője nagyobb, mint az illető közelítő törté. Ha a lánctört részlettörteinek száma végtelen, akkor a lánctörtet végtelen lánctörtnek hivjuk; ellenkező esetben véges a lánctört. A közönséges lánctört racionális v. irracionális számot értelmez, aszerint, amint véges, vagy végtelen. A végtelen lánctört fontos alakja a szakaszos lánctört, melyben a részlettörtek szakaszosan ismétlődnek. Minden szakaszos lánctört oly másodfoku egyenlet gyöke, melynek együtthatói egész számok, vagyis a szakaszos lánctört másodrendü algebrai irracionális számot állít elő.
A lánctört szó először Schwentner Dánielnél fordul elő (Geometria practica, 1625), amelyben a közelítő törteket használja valamely tört megközelítésére. Cataldi már előbb (1613) a négyzetgyökvonásnál alkalmazta, Brouncker lord (1620-1684) π-nek Wallis által adott szorzatalakját állította elő lánctört alakjában; de a lánctörtek rendszeres elméletét és számelméleti alkalmazását Eulernek köszönjük. V. ö. König Gy., Bevezetés a felsőbb algebrába (Budapest 1877); Analizis (1886); Serret, Algebra I.; Günther, Beiträge zur Efindungsgeschichte der Kettenbrüche (Weissenburg 1872); Bachmann, Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen (Lipcse 1892).
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
