Gyökvonás
Gyökvonás v. gyökfejtés, valamely adott A szám n-dik gyökeinek meghatározása. Az A szám n-dik gyökének pedig minden oly számot nevezünk, mely n-dik hatványra emelve, az adott A számot adja. P. 4-nek második gyökei 2 és -2. Csakugyan 22 = 4 és egyszersmind (-2)2 = 4. Már ezen egyszerü példa mutatja, hogy valamely számnak több mint egy n-dik gyöke lehet. Ezek közös jele: 
A, olvasva: n-edik gyök A(-ból). A
jelét, mely a XVI. sz.-ban a radix szó kezdőbetüjének átalakulása által keletkezett, gyökjelnek nevezzük, a föléje irt n-et pedig gyökkitevőnek. Ha a gyökkitevő 2, akkor nem irjuk ki, tehát p. 
négynek második gyökét jelenti. Az A számot, melyből gyököt vonunk, röviden az adott számnak szoktuk mondani, régebben gyökzendőnek (raducandusnak) hivták. A második és harmadik gyökre szokásos a négyzetgyök és köbgyök elnevezéseket használni, épugy, mint a hatványozásnál a második és harmadik hatványra a négyzet és köb elnevezéseket.
A, olvasva: n-edik gyök A(-ból). A jelét, mely a XVI. sz.-ban a radix szó kezdőbetüjének átalakulása által keletkezett, gyökjelnek nevezzük, a föléje irt n-et pedig gyökkitevőnek. Ha a gyökkitevő 2, akkor nem irjuk ki, tehát p. négynek második gyökét jelenti. Az A számot, melyből gyököt vonunk, röviden az adott számnak szoktuk mondani, régebben gyökzendőnek (raducandusnak) hivták. A második és harmadik gyökre szokásos a négyzetgyök és köbgyök elnevezéseket használni, épugy, mint a hatványozásnál a második és harmadik hatványra a négyzet és köb elnevezéseket.
Valamely pozitiv A számhoz mindig egy és csak egy oly pozitiv szám található, mely n-dik hatványra emelve A-t adja. E pozitiv n-dik gyök gyakran An-nel jelöltetik (olvasva: A az 1 törve n-re) s gyakorlati számításoknál rendesen csak ennek meghatározása kivántatik. E meghatározás legkényelmesebben logaritmusok segítségével történik. Csupán a négyzetgyököt és köbgyököt szokás az alább közlendő elemi uton is kiszámítani. Valamely tetszőleges szám összes gyökeinek meghatározása az xn-A=0 egyenlet megoldását kivánja. Az ily alaku egyenlet binom egyenletnek neveztetik. Ha A a zérus, akkor x=0: minden más esetben azonban a binom egyenlet n egymástól különböző x érték által elégíttetik ki, vagyis A-nak n egymástól különböző n-dik gyöke van. Ha A trigonometriai alakja (l. Komplex szám)
melyből A valamennyi értéke azáltal nyerhető, hogy rendre megszorozzuk az egység n-dik gyökeivel (l. Egység gyökei).
A valamennyi értéke azáltal nyerhető, hogy rendre megszorozzuk az egység n-dik gyökeivel (l. Egység gyökei).
A pozitiv számok pozitiv négyzetgyökének és köbgyökének említett elemi meghatározása az
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
képleteken alapszik. Egy egész számnak, p. 611524-nek négyzetgyökét a következő szabályok szerint kapjuk: 1. Az adott számot az egyesektől kezdve két-két számjegyből álló osztályokra bontjuk (v. ö. az A alatti számítást), csak a legmagasabb osztály áll esetleg egy számjegyből. 2. A négyzetgyök legmagasabb számjegye a legnagyobb szám lesz, melynek négyzete még nem nagyobb, mint a legmagasabb osztály, ha ezt külön számnak olvassuk. (Példánkban e számjegy 7, mert 72 <61, de már 82>61.) 3. E négyzet (49) kivonása után maradékhoz (12-hez) hozzátesszük a legközelebbi osztály magasabb számjegyét (1-1t, igy adódik ki 121), osztónak pedig a négyzetgyök már meghatározott részének kétszeresét (14) vesszük. A hányados (8) általában a (kivételes esetet l. 6. alatt) a négyzetgyökben a legközelebbi számjegy. Most a maradékhoz 8121) hozzáirjuk az illető osztály másik számjegyét (5, igy adódik ki 1215), az osztóhoz pedig a négyzetgyöknek uj számjegyét. Az igy átalakitott osztót (148) szorozzuk az utoljára nyert számjegygyel) (8) s kivonjuk az átalakított maradékból (1215-ből igy marad 31). 4. Ezt az eljárást ismételjük, mig az adott szám minden osztályát kimerítettük, a négyzetgyök kiszámított részét mindig egy számnak olvasva. 5. Ha ekkor a maradék 0, akkor az adott szám teljes négyzet volt, ha pedig nem, akkor a négyzetgyökből ily módon csak az egészszámu részt nyertük meg. 6. Néha e meghatározási mód kelleténél nagyobb számjelt ád a négyzetgyökben. Ezt azáltal vesszük észre, hogy a levonás negativ eredményhez vezet. Ekkor a legközelebbi kisebb számjelt próbáljuk, mig végre pozitiv maradékot nyerünk. P. B alatt:
Itt már a kivonást nem eszközölhetjük, tehát 7 helyett 6-ot veszünk). 7. Ha az adott szám nem teljes négyzet és a négyzetgyök értékét k tizedes helyre akarjuk meghatározni, akkor a számhoz az egyesek után még k két-két zérusból álló osztályt csatolunk, és ugy járunk el, mintha az igy nyert egész számmal volna dolgunk. Csakhogy a hozzácsatolt osztályokból nyert számjegyek már nem tartoznak a négyzetgyök egész számu részéhez, hanem a tizedes törtrészt adják. (L. a C alatti példát.) Ha tizedes törtrészt tartalmazó szám négyzetgyökét kell vonni., s a tizedes pont után esetleg páratlan számu számjegy áll, akkora számot mindenek előtt a zérus hozzácsatolása által kiegészítjük párosra. Azután éppen ugy járunk el, mintha nem volna ott a tizedes pont, de a végeredményben a tizedes pont után következő osztályoknak megfelelő számjegyek elé ismét tizedes pontot teszünk. (L. a D alatti példát).
Hasonló módon határozandó meg egy pozitiv szám pozitiv köbgyöke. Ha az adott szám egész (az E alatti példában 109.215352), akkor a következő szabályok szerint járunk el:
1. Az adott számot az egyesektől kezdve három-három számjegyből álló osztályokra bontjuk: csak a legmagasabb osztály állhat esetleg kevesebb (egy v. két) számjegyből. 2. A köbgyök legmagasabb számjegye a legnagyobb szám lesz, melynek köbe még nem nagyobb mint a legmagasabb osztály, ha ezt külön számnak olvassuk. (Példánkban 4, mert 43<109, de már 53>109.) 3. E köb (64) kivonása után a legközelebbi osztály legmagasabb számjegyét hozzáirjuk a maradékhoz (igy adózik 45 maradékból 452), osztónak pedig a köbgyök már meghatározott részének háromszoros négyzetét veszszük (3,42=48).
A hányados (9) általában (példánkban a 6. alatti módon a nálánál kettővel kisebb 7.) a köbgyökben a legközelebbi számjegy. Most a maradékhoz hozzáirjuk az illető osztály többi jegyeit 815) és a 3a2 b, 3ab2, b3 alakoknak megfelelő számokat (mindegyiknek helyét egygyel tovább tolva jobbfelé) kivonjuk a maradékból. 4. Ezt az eljárást addig ismételjük, mig az adott szám minden osztályát kimerítettük. 5. Ha akkor a maradék 0, az adott szám teljes köb volt, ha pedig nem, akkor a köbgyökből ily módon csak az egész számu részt nyertük. 6. Néha a meghatározásnak e módja kelleténél nagyobb számjegyet ad.
Ezt azáltal veszszük észre, hogy a levonás negativ eredményre vezet. Ekkor a legközelebbi kisebb számjegyet próbáljuk, mig végre pozitiv maradékot nyerünk. 7. ha az adott szám nem teljes köb és a köbgyök értékét k tizedesre akarjuk meghatározni akkor a számokhoz az egyesek után még k három-három zérusból álló osztályt csatolunk és ugy járunk el, mintha az igy nyert egész számmal volna dolgunk.
Csakhogy a hozzácsatolt osztályokból nyert számjegyek már nem tartoznak a köbgyök egész számu részéhez, hanem a tizedes törtrészt adják. Ha tizedes törtrészt tartalmazó szám köbgyökét keressük, s a tizedes pont után álló jegyek száma nem osztható hárommal, akkor e számot zérusok hozzácsatolása által ilyenné kiegészítjük. Azután ugy járunk el, mintha a tizedes pont nem volna ott, de a végeredményben a tizedes pont után következő osztályoknak megfelelő számjelek elé ismét tizedes pontot teszünk. (A mellékszámítás egyszerüsítésére igen kényelmes berendezés van ismertetve a Mathematikai Lapokban I. évf. 29.30. l.)
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
