Egység gyökei
Egység gyökei ama számok, melyeknek valamely pozitiv egész kitevővel ellátott hatványa 1. Ama számok, melyeknek n-dik hatványa 1, a pozitiv egység n-dik gyökei és ennek megfelelőleg n√1 -gyel jelöltetnek. Ezek mind az xn = 1 egyenletnek gyökei és viszont ennek az egyenletnek minden gyöke n-dik hatványra emelve 1-et ad eredményül. Ebből a körülményből kiindulva az egység n-dik gyökeit a következő alakban állíthatjuk elő:
ak=cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n
hol π a Ludolf-féle számot, i a képzetes egységet √-1-et és k a 0, 1, ..., n-1 egész számok valamelyikét jelenti. Az ak számára igy nyert n érték mind különböző, mig ha k helyébe egy a felsoroltak közt elő nem forduló egész számot teszünk, mint az könnyen bebizonyítható, a már előbb nyert értékek valamelyikével megegyező értéket nyerünk, igy tehát az n√1 értékeinek száma pontosan n. Ezek közt az egyik, mely a k = 0 értéknek felel meg, mindig 1; a többi hátralevő értékek közt legfelebb még csak egy lehet valós, t. i. páros n esetében a k = n/2 -nek megfelelő, midőn ak = -1 lesz. Minthogy ak = a11k, világos, hogy az 1, a112, a12, ..., a11n-1 sorozat az n√1 összes értékeit tartalmazza. De nem csak az a1-nek hatványai, hanem az 1 minden más n-dik gyökének hatványai szintén n-dik gyökei az 1-nek; mert ha pl. β az 1-nek egy tetszőleges n-dik gyöke, és igy β = 1, akkor egyszersmind (βk)n = (βn)k = 1. Mig azonban a1-nek legalacsonyabb pozitiv kitevővel ellátott hatványa, mely 1-gyel egyenlő, az n-dik, más egységgyöknek már alacsonyabb hatványa is lehet 1. Ha d a legkisebb pozitiv egész szám, melyre nézve akkd = 1, akkor azt mondjuk, hogy ak a d kitevőhöz tartozik. Hogyha k és n legnagyobb közös osztója δ, akkor d = n/δ. Ha k és n viszonylagos törzsszámok, ugyhogy ak az n kitevőhöz tartozik, ak-ról azt mondjuk, hogy primitiv n-dik gyöke az 1-nek. Ebben az esetben az 1, ak, ak2, ..., ak</n-1 sorozat ismét az 1 összes n-dik gyökeit tartalmazza. Az E.-nek részletes vizsgálata mutatja, hogy valamely n = p1d1 ... prdr,. Ha k és n viszonylagos törzsszámok, ugyhogy ak az n kitevőhöz tartozik, ak-ról azt mondjuk, hogy primitiv n-dik gyöke az 1-nek. Ebben az esetben az 1, ak, ak2, ..., akn-1 sorozat ismét az 1 összes n-dik gyökeit tartalmazza. Az E.-nek részletes vizsgálata mutatja, hogy valamely n = p1d1 ... prdr, összetett számnak megfelelő E.-nek meghatározása a p1d1, ..., prdr törzs-számhatványoknak megfelelő E. meghatározására vezethető vissza. Az E.-nek fennebi alakját legelőször Cotes használta (Harmonia mensurarum 1722), Gauss a Disquisitiones arithmeticae VII. fejezetében pedig megmutatta, hogy az E. tisztán algebrai uton, tehát trigonometrikus függvények közbejárása nélkül is előállíthatók.
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
