Egyenlet-rendszer.
Egyenlet-rendszer. Hogy ha g1 (x1, x2, ..., xn), g2 (x1, x2, ..., xn), ..., gm (x1, x2, ..., xn) az x1, x2, ..., xn változóknak rácionális egész függvényei, akkor az m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó
g1 (x1, x2, ..., xn) = 0 (2=1, 2, ..., m)
E. problémája abban áll, hogy meghatározandók az x1, x2, ..., xn változóknak amaz értékrendszerei, melyekre nézve az adott függvények a 0 értéket veszik fel. Ha az egyenletek száma m nem nagyobb az ismeretlenek számánál, n-nél, a feladat megoldásának menete az, hogy az u. n. kiküszöbölés v. Elimináció segítségével az adott egyenletekről egy oly egyenletre térünk át, mely lehetőleg kevés ismeretlent tartalmaz. Vajjon az adott feladat nem tartlamaz-e ellenmondást és a megjelölt értelemben megoldható-e, azt a kiküszöbölésnél elvégzendő számítások részletei mutatják.
A legegyszerübb idetartozó feladat oly elsőfoku v. lineáris E., melyben az ismeretlenek száma, n megegyezik az egyenletek számával. Legyenek az adott elsőfoku egyenletek:
u1=l1, u2=l2, ..., un=ln,
hol általánosságban
ui ≡a1, x1+ai2x2+...+ainxn;
legyen továbbá D az x-ek együtthatóiból összeállított ⏮aik⏮(i, k = 1, 2, ..., n) determináns (l. Determináns), melyet az E. determinánsának neveznek és Aik jelentse a determinánsnak aik eleméhez tartozó aldeterminánsát. Ha az adott E. egyenleteit rendre A1k, A2k, ..., Ank-val megszorozzuk és összeadjuk lesz:
A1ku1+A2ku2+...+Ankun=A1kl1+A2kl2+...+Ankln
Ha most itt a bal oldalon az u1, u2, ...,un kifejezések részletes értékeit kiirjuk és az x-ek szerint rendezzük, akkor a determinánsokra vonatkozó alaptételek tekintetbe vételével könnyen belátható, hogy e kifejezés átmegy Dxk-ha, mig a jobb oldalon álló kifejezés értéke azonos ama determinánséval, mely a D-ből úgy keletkezik, hogy a k-dik oszlop elemeit rendre az l1, l2..., ln értékekkel helyettesítjük. Jelöljük ezt a utóbbi determinánst Dk-val, akkor az előbb nyert eredményt igy irhatjuk fel:
Dxk=Dk
Ha D nem 0, ez egy az elsőfoku egyenlet, mely csak az xk ismeretlent tartalmazza, amely belőle meghatározandó. Ez mutatja, hogy az elsőfoku E.-nek, melyben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, csak egy megoldása van, hogyha determinánsa nem 0. E megoldást az ismeretleneknek következő értékrendszere szolgáltatja:
x1=D1/D, x2=D2/D, ..., xn=Dn/D
Ha az E. determinánsa 01 a nélkül azonban, hogy összes m-ed foku aldeterminánsai is 0-sal volnának egyenlők, a részletes vizsgálat mutatja, hogy az u1, u2, ..., un elsőfoku függvények közt n-m ily alaku kapcsolat áll fenn:
| ur=C1ur+C2u2+...+Cmum | (r=m+1, ..., n) |
hol C1, C2, ..., Cn az x1, x2, ...,xn, változóktól független értékeket jelentenek. Hogy már mostan az adott E. egyáltalában megoldható legyen, szükséges, hogy az u függvények adott értékei, l1, l2, ..., ln e kapcsolatoknak megfelelők legyenek. Ez azonban azt jelenti, hogy az x1, x2, ..., xn mindamaz értékrendszerei elégítik ki, kielégítik egyszersmind az um+1 = lm+1, ..., un=ln egyenleteket is, és igy ezek az utóbbi egyenletek, melyek mint az előbbieknek következményei, az ismeretlenek meghatározására nem szolgáltatnak uj adatot, elhagyhatók. A feladat tehát ebben az esetben egyenlő értékü egy oly elsőfoku E.-tel, mely m egyenletet és n ismeretlent tartalmaz. Ha az u1= l1, ..., um=lm egyenletekben az xm+1 , ..., xn ismeretlenek értékeit szabadon választjuk, a többi ismeretleneket az előbb leirt eljárás szerint határozhatjuk meg, mert az ennek az E.-nek együtthatóiból képezett determináns (hol most már csak x1, ..., xm szerepelnek mint ismeretlenek) nem egyéb mint a D. determináns egy m-edfoku aldeterminánsa és az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy egy olyan, mely nem egyenlő 0-sal.
Magasabb foku E.-ek tárgyalásánál az alapgondolat ugyanaz, mint az elsőfoku E.-ek esetében. Ha ismét abból az esetből indulunk ki, melyben az egyenletek száma egyenlő a ismeretlenek számával ugy, hogy az adott E. a következő legyen:
g1 (x1, x2, ..., xn) =0, g2 (x1, x2, ..., xn) =0, ..., gn (x1, x2, ..., xn) =0,
akkor első célul az x1, x2, ..., xn változók oly rácionális egész γ1,γ2,...,γn függvényeinek meghatározását tüzzük ki, hogy a
γ1g1+γ2g2+...,γngn
kifejezés az E. egyenletei által az x-ek közt megállapított összefüggések tekintetben vételével egy csupán az xk-tól függő racionális egész f(xk) függvénybe menjen át. A részletes vizsgálat mutatja, noha a kiszabott feltételnek megfelelő γ függvények többféle módon határozhatón meg, az előálló f(xk) függvények csak is egy állandó, az x-ektől nem függő tényezőben különbözhetnek egymástól. Ebből már mostan világos, hogyha az x-eknek egy oly értékrendszerével van dolgunk, mely az adott E.-nek megfelel, az
f(xk)=0
feltételnek ki kell elégítve lennie. Ez a feltétel már most mint egyenlet fogható fel, melyből az xk értékei kiszámíthatók, mig a többi ismeretlenek értékei, melyek az xk-nak egy ily módon kiszámított értékével együtt az E.-t kielégítik, xk-nak amaz értékével általánosságban elsőfoku egyenletek megoldása által határozhatók meg. Mint a legfontosabb idetartozó tételt, felemlítjük a Bezout-félét melynek értelmében az f (xk)=0 egyenlet fokszáma általánosságban egyenlő az E.-hez tartozó egyenletek fokszámainak szorzatával, de ennél nagyobb sohasem lehet, ugy hogy az E. megoldási rendszereinek száma is legfelebb e fokszámok szorzatával lehet egyenlő. Vajjon az adott feladat megoldható-e, az ebben az esetben is, ugy mint az elsőfoku E.-nél, a jellemezett számítás részleteiből tünik ki. Midőn valamely E.-ben az egyenletek száma, m nagyobb az ismeretlenek számánál n-nél, világos, minthogy n ismeretlen értéke már n egymástól független egyenletből határozható meg, hogy a feladat megoldhatóságának esetében az E. egyenletei közt bizonyos összefüggéseknek kell fennállaniok, melyek alapján m-n egyenlet mint a többiek következménye legyen felfogható.
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
