Egyenes vonal,
Egyenes vonal, a legegyszerübb vonal és ezért legcélszerübb azt a geometria alapalakjának választani. Egyszerüsége miatt ugyan nem definiálható, de bizonyos tapasztalati tények felsorolása, kapcsolatban az absztrakcióval, mégis kellő világosságba helyezhetik fogalmát. Némely tárgy szemlélete, mint p. egy kifeszített fonál, egy kocka éle, vagy a mellékelt ábra, melyet E.-i tárgynak
Egyenes vonal.
Akarunk nevezni, vagy még inkább az e tárgyak által elfoglalt hely szemlélete ébresztik bennünk a két pont határozta E.-u köz képzetét. A tapasztalat arra tanít bennünket, hogy az E.-u köz egymásra következő azonos részekből, a, b, c, d,-ből összetettnek gondolható és bármily kicsinyek is ezek a részek, azokat ujból feloszthatóknak gondolhatjuk; mert ha valamely, a rendelkezésünkre álló eszközök segítségével végzett észleletben bizonyos ilyen részek további felosztását már nem folytathatnók, elképzelhető, hogy a körülmények változtával és tökéletesebb eszközökkel e rések további felosztása is lehetséges. Igy tehát megengedhető az a tapasztalattal összeférő föltevés, hogy ha valamely E.-u közben bármily közel is egymáshoz két pontot veszünk fel, ezek közt okvetetlenül egy e pontoktól különböző pontja fekszik az E.-u köznek. Az e feltevéssel megállapított tulajdonsága az E.-u köznek az, melyet folytonosságnak neveznek. Egy másik adat, melyet az E.-u közre vonatkozólag a tapasztalat nyujt, az, hogy ha az E.-u közt akár jobbról balfelé, akár pedig az ellenkező irányban követjük szemünkkel, azt látjuk, hogy abban mindenpont egy meghatározott helyet foglal el és ha egy tetszés szerint választott pontjából akár az egyik, akár pedig a másik irányban kiindulunk, a kiinduló-ponthoz többé vissza nem jutunk. Az utóbbi tapasztalat azt fejezi ki, hogy az E.-u közben nincsenek csomópontok. Ugyancsak tapasztalati eredmény az is, hogy a E.-u köz befutva az egyik irányban, azonos mard magamagával, ha a másik irányba befutva gondoljuk. Végre ismételt tapasztalatok azt is mutatják, hogy minden E.-u köz mint egy másik E.-u köz része fogható fel, vagy más szóval, hogy minden E.-u köz meghosszabbítható. Ez a körülmény annak a hipotézisnek felállítására vezet, hogy az E.-u köz részét képezi a ontok egy egydimenziós, mindkét irányban határolatlan és folytonos rendszerének, melyet E.-u rendszernek, vagy pedig E.-nak neveznek. Az E.-u köznek felsorolt tulajdonságaiból közvetlenül e rendszernek az az alaptulajdonsága ismerhető fel, hogy bármely két pontja által határolt E.-u közét is vegyük fel, a rendszer minden pontja határpontja lesz két szomszédos E.-u köznek, mely mindkét irányban befutva, azonos a felvett közzel. Ezt a tulajdonságát az E.-nak azzal jellemezzük, hogy azt mondjuk, az E. egy részeinek elhelyezésében identikus pontrendszer.
Abból, hogy az E. egy a leirt tulajdonságoknak megfelelő rendszere a pontoknak, magában véve még nem következik, hogy hány pont szükséges annak meghatározására. Ismét a tapasztalat mutatja, hogy vm. észlelésünk köré eső E.-u tárgy helyét két végpontja határozza meg és minthogy az E.-u köz meghatározza az egész E.-u rendszert, ennek meghatározására is két pont elégséges. Ennek a tapasztalati adatnak megfelel a geometriának következő axiomája: Létezik egy egydimenziós és részeinek elhelyezésében identikus, folytonos rendszeres a pontoknak (az E.), amelyet két pontja meghatároz. Az axioma e fogalmazásában tekintettel arra, hogy az nemcsak az u. n. Euklides-féle geometriának, hanem a geometria többi rendszereinek, főleg pedig a Riemann-féle rendszer egyik alakjának, az u. n. szferikus geometriának is szolgálhasson alapul, eldöntetlen marad, vajjon az E. meghatározására szükséges pontpár tetszés szerinti-e vagy nem. Ez különben a tapasztalat segítségével sem dönthető el, amely csak addig adhat felvilágosítást, mig a két pont észlelésünk körébe esik. Ebben az esetben ugyanis, mint láttuk, a tapasztalat azt mutatja, hogy a két pont az egyenes meghatározására alkalmas, mig ha a két pont közül már csak az egyik azon mezőn kivül esik, melyre észlelésünket kiterjeszthetjük, a tapasztalat további felvilágosítást többé nem nyutjhat. Vajjon előállhat-e az az eset, hogy nem minden két tetszés szerint választott pont határozza meg az egyenest, kapcsolatban áll azzal a körülménynyel, hogy az egyenest nyiltnak vagy zártnak tételezzük-e fel. Noha az egyenes ama részében, mely észlelésünk körébe esik, egy pontból kiindulva és egy bizonyos irányban haladva előre, ehhez a ponthoz nem jutunk többé vissza, e tapasztalattal mégis megegyeztethető az a feltevés, hogy az E. zárt vonal. Igy tehát két, a tapasztalattal nem ellenkező hipotézis közt van választásunk; az egyik az, hogy az E. nyilt, a másik pedig, hogy az E. zárt. A nyilt E. hipotézisének választása a geometria Euklides-féle és Lobatschewsky- vagy Bólyai-féle rendszereire vezet, mig ha az E.-t zártnak tételezzük fel, a geometria Riemann-féle rendszeréhez jutunk. Ami már mostan az E.-nak két pont által való meghatározását illeti, a részletes vizsgálat megmutatja, hogy a nyilt E. feltételezése mellett az E. két tetszésszerinti pontja által határozható meg, mig ha az E.-at zártnak tételezzük fel, lehetségesnek tételezhető fel az az eset, hogy két oly pont, mely az egész egyenest két egyenlő részre osztja fel, - ezeket ellentett pontoknak nevezik - az egyenest nem határozza meg. Aszerint azután, amint feltételezzük, hogy két ellentett pont meghatározza vagy nem határozza meg az egyenest, a geometria Riemann-féle rendszerének két alesetét nyerjük.
Euklides definiciója az egyenesről: «Ευϑεαγραμμη εστιν, η τις εξισον τσου τοις εϕ εαυτης» az E. ama vonal, mely pontjai közt egyenletesen fekszik); homályos és ki nem elégítő. Néhány matematikus, ki a geometria kiinduló pontjául a távolság fogalmát választotta, a síkot és az egyenest a gömbök egy rendszere segítségével származtatta. Az első ilynemü kisérlet Leibniz-tól származik, ujabban pedig hazánkfia, Bólyai Farkas és Lobatschewsky részletesen foglalkoztak a sík és E. ily módon való elállításával.
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
