Kör
Kör (circulus). Ha egy pont a síkban ugy mozog, hogy egy szilárd ponttól való távolsága állandóan ugyanaz, akkor egy önmagába visszatérő görbe vonalat ir le. E vonalat körvonalnak s azt a síkrészt, melyet körülzár, K.-nek nevezzük. Rendesen a körvonalat is, mely a K. kerületét képezi, röviden csak K.-nek nevezzük. Az a pont, melytől e vonal pontjai egyenlő távolságra vannak, a K. középpontja (centrum), a középponttól a K. kerületének valamely pontjához vont egyenes vonaldarab a K. sugara (küllő, radius). Egy egyenes vonalnak a K. kerületével csak akkor lehetnek (valós) közös pontjai, ha az egyenesnek a középponttól való merőleges távolsága nem nagyobb, mint a sugár. Ha e távolság egyenlő a sugárral, akkor az egyenesek a K.-rel csak egy közös pontja van. Az egyenest ekkor érintőnek (tangens) s a K.-rel való egyetlen közös pontot érintési pontnak hivjuk. Az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Ha az egyenesnek a középponttól való távolsága kisebb a sugárnál, akkor az egyenes két pontban metszi a kört és szelőnek (secans) neveztetik. A szelőnek a két metszési pont közé foglalt részét húrnak (chorda) mondjuk. A húr hossza legnagyobb, ha a szelő keresztül megy a középponton. Az ily szelőt, valamint e szelőnek a metszési pontok közé foglalt részét átmérőnek (diameter) nevezzük. Az átmérő hossza a sugár kétszeresével egyenlő. Bármely átmérő felezi a reá merőleges húrokat. A körvonal bármely részén körívnek (arcus) nevezzük. Egy körív és a végpontjait összekötő húr által bezárt síkrészt karéjnak (körszelet, körszegvény, segmentum) mondjuk, egy körív és a K. középpontjától ezen ív végpontjaihoz húzott sugarak által bezárt síkrészt pedig gerezdnek (körcikk, sector).
A körvonal és a körív hosszának, valamint a K., a karéj és a gerezd területének meghatározásával a körmérés (ciklometria) foglalkozik. A K. kerülete, vagyis az egész körvonal hossza 2rπ, hol r a K.-nek sugara és π = 3,14159... a ludolfi szám. A K. kerületének 360-ad részét foknak (°) nevezzük; egy foknak hosszusága tehát rπ/180. A φ foku körív hossza rπ/180φ. A kör területe: r2π, a φ° -u körívhez tartozó gerezd területe: r2π/360φ, s a megfelelő karéj területe:
A körmérés első szigoru tárgyalása Archimedestől való. Ő azt találta, hogy a kör kerületének az átmérőhöz való viszonya π nagyobb mint 3 10/71, de kisebb mint 3 1/7. Utána számosan foglalkoztak e viszony pontosabb kiszámításával. Ludolf van Ceulen a XVI. sz. végén ezt a számot először 20, utóbb 35 tizedesre számította ki. Századunkban Dase 200 tizedest számított ki, s akadtak, akik még több tizedes kiszámítására fecsérelték idejüket. A K. kerületének meghatározását kiegyenesítésnek, rektifikálásnak v. rektifikációnak, a terület meghatározását a K. négyszögítésének vagy quadraturájának szokás nevezni. Sokan e két feladatot a következő fogalmazásban akarták megoldani: pusztán vonalzó és körző segítségével szerkesztendő oly vonaldarab, mely egyenlő hosszu egy adott sugaru K. kerületével s egy oly négyzet, mely egyenlő területü egy adott sugaru körrel. Végre Lindemann 1882. kimutatta, hogy ily szerkesztés lehetetlen. Az ily értelemben vett rektifikáció és quadratura lehetetlenségének oka abban rejlik, hogy a π szám transzcendens, azaz nem tesz eleget oly algebrai egyenletnek, melyben az együtthatók egész számok volnának. De ha a K. kerületének és területének teljesen pontos megszerkesztése lehetetlen is, nagymérvü megközelítést nyujtó szerkesztéseket többen találtak.
A körmérés első szigoru tárgyalása Archimedestől való. Ő azt találta, hogy a kör kerületének az átmérőhöz való viszonya π nagyobb mint 3 10/71, de kisebb mint 3 1/7. Utána számosan foglalkoztak e viszony pontosabb kiszámításával. Ludolf van Ceulen a XVI. sz. végén ezt a számot először 20, utóbb 35 tizedesre számította ki. Századunkban Dase 200 tizedest számított ki, s akadtak, akik még több tizedes kiszámítására fecsérelték idejüket. A K. kerületének meghatározását kiegyenesítésnek, rektifikálásnak v. rektifikációnak, a terület meghatározását a K. négyszögítésének vagy quadraturájának szokás nevezni. Sokan e két feladatot a következő fogalmazásban akarták megoldani: pusztán vonalzó és körző segítségével szerkesztendő oly vonaldarab, mely egyenlő hosszu egy adott sugaru K. kerületével s egy oly négyzet, mely egyenlő területü egy adott sugaru körrel. Végre Lindemann 1882. kimutatta, hogy ily szerkesztés lehetetlen. Az ily értelemben vett rektifikáció és quadratura lehetetlenségének oka abban rejlik, hogy a π szám transzcendens, azaz nem tesz eleget oly algebrai egyenletnek, melyben az együtthatók egész számok volnának. De ha a K. kerületének és területének teljesen pontos megszerkesztése lehetetlen is, nagymérvü megközelítést nyujtó szerkesztéseket többen találtak.
1. ábra. A kör kiegyenesítése.
2. ábra. Körív kiegyenesítése.
Különösen használható szerkesztést nyujtott Kochanski lengyel jezsuita 1685., mely π helyett 3,14153-at adja, s a következő (1. ábra): Rajzoljuk a K. AB átmérőjének A végpontja körül az adott kör sugarával egyenlő körzőnyilással az OCD körívet s ennek az adott körrel való C metszési pontja körül az AD körívet, mely OCD-t D pontban metszi. Az OD egyenesnek és az A pontban vont AF érintőnek E metszéspontjából rakjuk fel a sugár háromszorosával egyenlő EF hosszuságot és ennek F végpontját kössük össze B-vel. Az igy nyert BF vonaldarab igen keveset különbözik a K. félkerületétől. Egy tetszőleges, de 450-nál kisebb ív kiegyenesítésére Snellius a következő közelítő szerkesztést találta (2. ábra): A kiegyenesítendő AD körív A végpontján keresztül vonjuk meg az AT érintőt s az AB átmérőt, melynek meghosszabítására a sugárral egyenlő BC hosszuságot rakjuk fel. Ha az E pont a CD egyenesnek AT-vel való metszése, akkor az AE egyenes vonaldarab csak igen kevéssel rövidebb az AD körívnél.
