Másodrendü felület, | A Pallas nagy lexikona

Full text search

Másodrendü felület, oly görbe felület, mely a tér minden egyenesét két valós vagy képzetes pontban, tehát a tér tetszőleges síkját másodrendü görbében (l. o.) metszi. Két pont P és P1 kapcsolt pontpár, vagy konjugált harmonikus póluspár, ha a M.-en fekvő valamely másodrendü görbére nézve kapcsolt pontpárt képez. Az összes P1 pontok, amelyek valamely adott P ponttal kapcsolt pontpárt képeznek, meghatározott S síkban feküsznek, mely a P poláris síkjának neveztetik, mig megfordítva P az S síknak pólusa P-nek poláris síkján fekszik és S minden pontjának poláris síkja keresztül megy S-nek pólusán. Ha P a M.-en fekszik, akkor a hozzá tartozó poláris sík a M.-nek érintősíkja a P pontban. Minden érintősík a M.-ből két valós vagy képzetes egyenest metsz ki, amelyeknek mindig valós metszéspontja az érintési pont. Két sík S és S1 kapcsolt síkpár, vagy konjugált harmonikus poláris síkpár, ha mindegyik a másiknak pólusát tartalmazza. Két egyenes g és g1 kapcsolt egyenespárt vagy konjugált polárisok, ha az egyiken fekvő pontok poláris síkjai keresztül mennek a másikon.

Valamely p egyenesen fekvő kapcsolt póluspárok összesége, valamint a rajta keresztül menő kapcsolt poláris síkpárok összesége egy-egy involuciót képez: a p-hez tartozó harmonikus pólusok, illetőleg harmonikus poláris síkok involucióját, amelyeknek kettős elemei a M.-nek metszéspontjai a p-vel, illetőleg a p-n keresztül menő érintősíkjai. A M. tehát általában másodosztályu. A tér tetszőleges P pontjából a M.-hez fektetett érintőkúp érintése görbéje az a másodrendü görbe, melyet P poláris síkja a M.-ből kimetsz.

Ha négy pont, A, B, C, D ugy fekszik, hogy bármely kettő közülük kapcsolt póluspár, akkor e négy pont képezte tetraéder poláris tetraédernek neveztetik, melyben minden csúcspont a szemben fekvő tetraéderlapnak pólusa és bármely két szemben fekvő tetraéder-él kapcsolt egyenes párt képez.

A végtelenben fekvő sík pólusa O - ha a véges térben fekszik - középpontja, minden a középponton keresztül menő egyenes átmérője a M.-nek A középpontból a M.-hez fektetett érintő kúp aszimtota kúpnak neveztetik, érintési görbéje a végtelenben fekszik.

Oly poláris tetraéderben, melynek egyik lapja, tehát egyszersmind három csúcspontja és három éle a végtelenben fekszik, a M. középpontja képezi a negyedik csúcspontot. A végesben fekvő és a középponton keresztül menő három tetraéder-él konjugált átmérőket képez oly értelemben, hogy mindegyik átmérőhöz a másik kettő meghatározta sík tartozik mint kapcsolt vagy konjugált átmérősík vagy diametrál sík. Ilyen hármasa a kapcsolt átmérőknek háromszorosan végtelen sok létezik, ezek közt mindig van egy és csak egy avval a tulajdonsággal, hogy mindegyike a három átmérőnek merőleges kapcsolt átmérősíkjára. Ezek az átmérők a M. főtengelyei, összekötő síkjai a M. fősíkjai és ez utóbbiaknak metszésvonalai a M.-tel annak főmetszései.

A középpont szimmetria-centruma, minden fősík ortogonális szimmetria-síkja, valamely tetszőleges átmérősík ferde szimmetria síkja a M.-nek. A ferde szimmetria iránya az illető átmérősíkkal kapcsolt átmérő iránya.

Ha a három főtengely közül mindegyik a M.-et valós pontokban metszi, akkor mind a három főmetszés ellipszis és a M. ellipszoidnak neveztetik, még pedig háromtengelyü-, forgási ellipszoid-, illetőleg gömbnek, a szerint, amint a három főtengelynek a M. határolta darabjai közül mind a három egymástól különböző, kettő illetőleg mind a három egyenlő egymással. Az ellipszoid egészen a végesben fekvő zárt felület, aszimptota kúpja képzetes, a felületen valós egyenesek feküsznek és minden pontja elliptikus pont. Valós síkmetszései csak ellipszisek lehetnek, amelyek közt mindig végtelen sok kör létezik.

Ha a három főtengely közül kettő a M.-et valós pontokban, a harmadik képzetes pontokban metszi, akkor az utóbbi tengelyen keresztül menő két fömetszés hiperbola, a reá merőleges főmetszés ellipszis. Ez esetben a M. egyágu, egyhéju, vagy hiperbolikus hiperboloidnak neveztetik. Ha az elliptikus főmetszés és evvel minden vele parallel sík metszése kör, akkor a két hiperbolikus főmetszéssel együtt minden a képzetes pontokban metsző főtengelyen keresztül fektetett sík metszése egymással kongruens, a felület egyágu forgási hiperboloid. Az egyágu hiperboloid valós aszimptota kúppal a végtelenbe terjed, minden pontján keresztül két egyenes megy, mely egész terjedelmében a felületen fekszik, ezeknek összessége két torzsereget képez, a felület tehát torzfelület és minden pontja hiperbolikus. Valós síkkal való metszésvonala mindig valós görbe, amely lehet hiperbola, parabola v. ellipszis és ez utóbbiak közt mindig végtelen sok kör.

Ha a három főtengely közül kettő a M.-et képzetes pontokban, a harmadik valós pontokban metszi, akkor az utóbbi tengelyen keresztül menő két főmetszés hiperbola, a reá merőleges főmetszés képzetes kúpszelet. Ez esetben a M. kétágu, kéthéju vagy elliptikus hiperboloidnak neveztetik. Ha valamely, a valós pontokban metsző főtengelyre merőleges sík a M.-et körben metszi, akkor a felület kétágu forgási hiperboloid. A kétágu hiperboloid valós aszimptotakúppal a végtelenbe terjed, rajta valós egyenesek nem feküsznek, a felület minden pontja elliptikus. Síkmetszései, amennyiben valósak, mindennemü másodrendü görbék lehetnek.

Ha a végtelenben fekvő sík a M.-nek érintő síkja, akkor pólusa, az érintési pont O, szintén a végtelenben fekszik. Ez esetben a M.-nek a véges térben nincsen középpontja és a felületet elliptikus, illetőleg hiperbolikus paraboloidnak nevezzük a szerint, amint a végtelenben fekvő érintősík a M.-ből két képzetes, illetőleg valós egyenest metsz ki. Mind a két paraboloidnál létezik két egymásra merőleges sík, a két fősík, melyek mindegyikére nézve a felület ortogonálisan szimmetrikus. A két fősík metszésvonalát főtengelynek nevezzük. A főtengelyre merőleges síkok metszésvonalai a hiperbolikus paraboloidnál mindig valósak és mindig hiperbolák, az elliptikus paraboloidnál, ha valósak, mindig ellipszisek. Az elliptikus parabolod forgási felület, ha főtengelyére merőleges síkmetszései körök. A hiperbolikus és a felületen valós egyenesek nem feküsznek, mig a hiperbolikus paraboloid minden pontján két egészen a felületen fekvő egyenes megy keresztül, amelyeknek összessége két torzsereget képez és igy a hiperbolikus paraboloid torzfelület. Mind a két paraboloid a végtelenbe terjed, síkmetszései közül az elliptikus paraboloidnál ki van zárva a hiperbola; a hiperbolikus paraboloidnál, melynek minden valós síkban van valós pontja, ki van zárva az ellipszis, tehát a kör is.

Az eddig felsorolt öt különböző alakja a M.-nek általános jellegü, tehát egyszersmind másodosztályu is. Speciális lesz a M., ha egy dupla ponttal bir, ez esetben a felület másodrendü kúp, mely átmegy a hengerbe, ha dupla pontja a végtelenben fekszik. A kúp és henger oly M., melynek minden pontja parabolikus. Ha a M.-nek két dupla pontja van, akkor azok összekötő vonalának minden pontja dupla pont és a felület két síkba esik szét. Mint speciális széteső M. szerepel még két parallel sík v. két összeeső sík.

Speciális másodosztályu felület a másodrendü görbe, amennyiben mint összes érintő síkjainak burkolóját tekintjük. Mint széteső másodosztályu felület szerepel két síkpont, amelynek sorozója egymástól különböző v. összeeső is lehet.

Ha valamely sugárpontnak a, b, c, d, x, ... sugarait projektive vonatkoztatjuk valamely síkpont

A', B', C', D', X', ... síkjaira, akkor az aA', bB', c, C', d, D', x, X',...pontok geometriai helye M. Minden M. ily módon végtelen sokféleképen előállítható, mint reciprok másodfoku alapalakzatok képződménye.

Ha g1, g2 valamely másodrendü torzfelület egyik torzseregének két tetszőleges sugara és l1,l2,l3,l4,...a másik torzsereg sugarai, akkor g1l1, g1l2,g1l3,g1lx,...síkok pontok és g2l1, g2l2,g2l3, g2lx...{síkok pontok} képezte {síksorok pontsorok} projektivek és megfordítva: torzsorozókkal biró projektiv {síksorok pontsorok} képződménye M.

Centrális kollineáció segítségével az elliptikus M.-ek a gömbből, a hiperbolikus M.-ek az egyágu forgási hiperboloidból állíthatók elő.

Oly mozgó egyenes, mely minden helyzetében három szilárd torzegyenest metsz, valamely egyágu hiperboloidnak egyik torzseregét irja le. Ha a három szilárd egyenes parallel egy és ugyanazon síkkal, v. az egyik közülök a végtelenben fekszik, akkor a keletkező felület hiperbolikus varaboloid.

Ha két torzegyenes közül az egyik a másik körül forog, akkor a mozgó egyenes egyágu forgási hiperboloidot ir le.

Valamely másodrendü kúpszelet egyik tengelye körül forgatva, másodrendü forgási felület ir le, még pedig forgási ellipszoidot, paraboloidot, egyágu illetőleg kétágu hiperboloidot, a szerint, amint a forgó kúpszelet ellipszis, parabola, képzetes tengelye, illetőleg valós tengelye körül forgó hiperbola.

Legyen k valamely szilárd kúpszelet, G, H két a k síkján kivül fekvő (valós v. konjugált képzetes) pont, P a GH egyenes metszéspontja k síkjával, p a P poláris k-ra nézve, P1 a p-nek tetszőleges pontja, A és B a GHP1 sík két metszéspontja k-val; akkor mindig létezik oly k, kúpszelet, mely az A, B, G, H, pontokon keresztül megy és a G és H pontokban a GP1, illetőleg HP1 egyeneseket érinti; az igy defineált k1 kúpszeletek összessége M.-et alkot és megfordítva: minden M. ily módon előállítható mint egy mozgó kúpszelet geometriai helye. Ha a GH egyenes speciális helyzetü, p. a végtelenben fekszik, akkor a különféle M.-eknek különféle speciális előállításait nyerjük.

Analitikai definició. A M. a tér ama pontjainak geometriai helye, amelyeknek Descartes-féle koordinátái (r,y,z) v. általános projektiv koordinátái (x1,x2,x3,x4) valamely másodfoku egyenletnek

1) a11x2+a22y2+a33z2+a44+2a12xy+2a23yz+2a31zx+2a14x +2a24y +2a34z=0

illetőleg

2) Σaikxixk= 0 (i,k = 1,2,3,4; aik =aki)

tesznek eleget. Kilenc tetszőlegesen a térben megadott pont egyértelmüen meghatározza a M.-et, tehát kilenc pont koordinátáit adottaknak tekintve, a M. egyenletében az együtthatók meghatározhatók.

A M. egyenlete egyszerübb alakot ölt, ha speciális koordináta-rendszert választunk, igy az ellipszoid egyágu hiperboloid, kétágu hiperboloid, elliptikus paraboloid illetőleg hiperbolikus paraboloid rendre a következő alakokra hozhatók:

A2x2 + B2y2 + C2z2 = 1,

A2x2 + B2y2 - C2z2 =1,

A2x2 - B2y2 + C2z2 = 1,

A2x2 + B2y2 - z2=0,

A2x2 - B2y2 - z2 =0.

A M.-nek valamely poláris tetraédere vonatkoztatott egyenlete:

a1x12+ a2x22 +a3x32+ a4x42= 0.

Ha a koordináta tetraéder csúcspontjai a M.-en feküsznek, akkor