Algebra.
Algebra. A szó az arab «al gebr»-ből (gabar a. m. restaurare) származik, amely Mohammed ben Musa Alkhvarizmi arab matematikusnak 820-ban megjelent «Algebr v' al mukabala» címü munkájában szerepel és ott azt a műveletet jelenti, amelynek a segítségével valamely egyenlet adott tagja egyik oldalról a másikra megváltoztatott előjellel átvihető. Ma A. alatt az A.-i egyenletek elméletét értik. Ha g (x) =∑nk=o ak xk az x-nek n-edfoku racionális egész függvénye, tehát olyan, melynek képzésében csakis racionális egész műveletek szerepelnek akkor a g(x) = 0 n-ed foku A.-i egyenlet megoldásának problémája a g(x) függvény zérushelyeinek meghatározására vonatkozik. E zérushelyeket a g(x) = 0 egyenlet gyökeinek nevezzük. A legelső kérdés, mely itt felmerül, a probléma megoldásának lehetőségére vonatkozik. Tetszés szerint megadott egyenletnek vannak-e gyökei? A feleletet erre megadja az A. alaptétele, melynek értelmében akárhogyan megadott n-ed foku A.-i egyenletnek n gyöke van. E tételnek, amelynek első kielégítő bebizonyitása Gausstól származik (1799), függvénytani értelmezése az n-edfoku racionális egész függvények ama tulajdonságára vezet, mely szerint azoknak értékkészletében minden szám n-szer szerepel. Az A., problémájának természeténél és a történeti alakulásnál fogva, két irányban fejlődött, úgy hogy az A. elnevezése alatt ma jellem dolgában két egymástól teljesen elütő tudományágat foglalunk össze.
Az A.-nak nevezett diszciplina egyik része természeténél és módszereinél fogva voltaképen a függvénytanba tartozik. Ez az A.-i egyenletek közelítő megoldására vonatkozik. Ebben a részben, miután ki van mutatva, hogy akármilyen egyenlet teljes megoldása valós együtthatókkal biró egyenletek valós gyökeinek meghatározására vezethető vissza, Sturm tételével a főprobléma el van intézve. Ennek segítségével ugyanis bármely egyenlet valós gyökei szétválaszthatók, azaz kijelölhetők oly számközök, melyek mindegyike csakis egy gyököt tartalmaz. E számközök tetszés szerint kisebbíthetők lévén, a valós gyökök is tetszés szerint előirt pontossággal határozhatók meg. A számközök e kisebbítésére vonatkozó leggyakorlatiasabb számitási berendezést Horner közelítő módszere nyujtja. Ezzel szemben az A. másik része, melyre az ujabb matematika az algebra elnevezését kizárólagosan alkalmazza, egyenletosztályok között való kapcsolatok kiderítésével foglalkozik.
Ez az elmélet határozott egyéni vonásainál fogva a többi matematikai elméletekkel szemben egészen különleges állást foglal el. Kérdéstételeinek éles fogalmazása, módszereinek tisztasága, megoldásainak szigoru volta, tökéletesség és befejezettség dolgában számára kétségtelenül biztosítják az első helyet a matematika összes diszciplinái között. Módszereiben mellőz mindent, ami a racionális műveletek szabta éles keretet tullépi s folytonossági szemlélődéssel, a végtelen fogalmával v. pedig geometriai szemléletekkel zavarhatná tárgyalásainak tisztaságát; fogalomalkotásaitól nemcsak logikai kifogásolhatatlanságot követel, hanem azoknak matematikai szerkeszthetőségét is megköveteli, hogy előállításuk mindenkor kivihető, tehát racionális műveletekből összetett véges algoritmus segítségével eszközölhető legyen.
Ennek az elméletnek az élén az irreduktibilitás és reduktibilitás fogalmai foglalnak helyet. Ha R1. R2 tetszőleges mennyiségek, akkor az ezekből egész számu együtthatók segitségével képezhető racionális kifejezések összeségét racionalitási tartomány elnevezése alatt foglaljuk össze fogalmilag és R = (R1 R2 . . , R k )-val jelöljük. Ha a g(x).együtthatói R-hez tartoznak, akkor véges számu kivihető lépésben eldönthetjük, hogy vajjon felbontható-e vele megegyező jellegü tényezőkre vagy nem. Ha fel nem bontható, akkor g(x)-et irreduktibilisnek mondjuk, míg felbonthatósága esetében a g(x) reduktibilis. Az utóbbi esetben a g(x)=0 egyenlet megoldása visszavezet alacsonyabb foku egyenletek megoldására, minthogy g (x) irreduktibilis tényezői zérushelyeinek teljes készlete megadja a g(x) = 0 egyenlet összes gyökeit. Az eredeti racionalitási tartomány; a törzstartomány (Stammbereich), azzal bővíthető ki, hogy elemeihez uj elemet csatolunk hozzá, azaz adjungálunk. E kibővített tartományban (genusztartomány, ha algebrai irracionalitást adjungáltunk) az eredetileg adott egyenlet reduktibilissé lehet, noha a törzstartományban irreduktibilis volt.
Az algebra problémája ezek után ekként fogalmazható: adva lévén az R törzstartományban valamely algebrai egyenlet, miként lehet a törzstartományból kiindulva egyes külön tanulmányozandó irracionalitások fokozatos adjunkciója révén eljutni oly racionalitási tartományhoz, melyben az adott egyenlet elsőfoku tényezőkre felbomlik? Ha e célra elégséges binom egyenletei (l. o.) gyökeinek az adjunkciója, akkor az adott egyenlet algebrailag oldhatónak neveztetik. Ezeknek gyökei tehát tisztán gyökjelek segítségével fejezhetők ki. Ezeknek az egyenleteknek igen kiterjedt és fontos osztálya az Abel-féle egyenletek osztálya, melynek egyik speciális alosztályát, a körosztási egyenletek osztályát, Gauss tárgyalta legelőször kimerítően, egyik általánosítása pedig König Gyula hazánkfiától ered. («Értekezések a math. tudományok köréből.» IX. köt.)
Az A.-i oldalhatóság általános kritériumainak felállítása sokáig csak a kombinatórius A. módszereivel volt lehetséges és csak ujabb időben állitott fel König Gyula aritmetikai jellegü kritériumokat, melyek azonban velejökre nézve szintén a kombinatórius módszerekhez csatlakoznak. A kombinatórius algebra, melynek megalapítása a 21 éves korában elhunyt Galois Éveristenek köszönhető, az algebra problémáját az adott egyenlet gyökeiből képezhető összes racionális kifejezések meghatározására terjeszti ki, melyek között mint legegyszerübb ily kifejezéseka gyökök magok is szerepelnek. Minden ilyen racionális kifejezés a benne foglalt gyökök összes felcseréléseinél (l. Felcserélés, Szubsztitució) bizonyos számu értéket vesz fel, amelyek e számmal megegyező foku egyenletnek tesznek eleget, melynek együtthatói ismét az R törzstartományhoz tartoznak. Az ilyen egyenletet az adott egyenlet rezolvensének nevezzük. E rezolvensek között kiváló fontosságu a Galois-féle rezolvens, mely az összesek között a legmagasabb foku. E rezolvens rávezet az egyenlet Galois-féle csoportjának fogalmára. Így nevezzük mindama szubsztituciók összességét, melyeknek alkalmazása a gyököknek az R törzstartományhoz tartozó racionális összetételeit változatlanul hagyja. E csoport jellegétől függ leglényegesebben egyenletünk szerkezete. Ha e csoport már csak az identikus szubsztituciót tartalmazza, akkor az egyenlet megoldottnak tekinthető, mert ekkor az egyenlet gyökei magok is R-hez tartoznak. Valamely egyenlet megoldásának a folyamata most már úgy alakul, hogy egyes alkalmasan választott rezolvensek gyökeinek adjunkciójával kibővítjük az R törzstartományt oly racionalitási tartománynyá, amelyben az egyenlet csoportja egyedül az identikus szubsztituciót tartalmazó legegyszerübb csoportra redukálódik. Ez nagy vonásokban Galois elmélete. Ez elmélet alapján az A:-i oldhatóság föltételeit az egyenlet Galois-féle csoportjának bizonyos szükséges és elegendő tulajdonságai segítségével aránylag igen egyszerüen fejezhetjük ki. Az algebrailag nem oldható egyenletek közül az általános 5-ödfoku egyenlet tanulmányozása teljesen befejezettnek tekinthető, amennyiben Hermite és Kronecker kimutatták róla, hogy teljes megoldása bizonyos speciális elliptikus modulfüggvények;adjunkciója után algebrai uton eszközölhető.
Az A. keletkezésének története visszavezet az ókorba. Az első- és másodfoku egyenletek megoldása már a görögök előtt ismeretes, de a náluk alkalmazott módszer nem A.-i, sőt merőben geometriai szemlélődéseken alapul. A görög szellem hanyatlása után a hinduk tudós braminjai veszik át a vezérszerepet, kik méltán tekinthetők az A. megalapítóinak, amennyiben ők A.-i kérdéseket mint önálló érdekü problemákat geometriai szemléletek teljes kizárásával is tárgyalnak. A hindu tudomány tevékeny terjesztői és éleselméjü továbbfejlesztői a nyugaton az arabok lettek. Közülök különösen kiválik Mohammed ben Musa Alkhvarizmi és Omar ben Ibrahim Alkkaijami, aki legelőször tárgyalta tudományosan a harmadfoku egyenleteket, melyeknek geometriai megoldásával a kocka megkettőztetését valamint a szög háromosztásat eszközölhetni. Az arab matematikát Leonardo Pisano (Fibonacci = Bonaccio fia) «Liber Abaci» címü 1202-ben megjelent munkájában ismerteti; e munka soká maradt a matematikus világ egyedüli A.-i tankönyve.
Nevezetesebb haladás csak a renaissance-korszakban jelezhető. Ebbe az időszakba esik az a hatalmas lépés, amely a harmadfoku egyenletek A.-i megoldásához vezetett. Még Luca Pacioli lehetetlennek tartja e probléma megoldását; de rövid idővel erre Scipione dal Ferronak 1505-ben sikerült a megoldás. Ferro megoldási módszerét tanítványával Maria Fioreval közölte, de a módszer közzétéve sohasem lett. Mintegy 30 évvel késöbben Nicolo Tartiglia (Tartaglia = a dadogó) önállóan ujból eljutott a harmadfoku egyenlet megoldásához; a hálátlan utókor azonban nem az ő nevéhez, hanem ama Cardano nevéhez füzte e felfedezés dicsőségét, aki bizony tisztességtelen uton tulajdonította el Nicolo nagy felfedezését. 1540-ben jutott Cardano tanítványa, Ludovico Ferrari a negyedfoku egyenlet megoldásához. Nicolo valamint Ferrari fölfedezései Cardanonak «Ars magna sive de regulis algebraicis» címü munkájában találtak helyet. Ami közvetlenül ezután történt, az csak előkészítése ama nagyszabásu módszereknek, melyek a modern A. tartalmát és alapját képezik. Az ötödfoku egyenlet megoldásán a legjelesebb matematikusok fáradoztak; de e fáradozások, noha magokban véve számos becses eredményre vezettek (p. Lagrange buvárlatai), végcéljuk tekintetében teljesen meddők maradtak, annyira, hogy Gauss már 1799-ben «Demonstr. nova theoremalis omnem funct. alg. etc» címü értekezésében, melyben az egyenletek elméletének alaptételét bizonyítja be, ama meggyőződésének adott kifejezést, hogy negyedfokunál magasabbfoku egyenlet megoldása A.-i uton, azaz gyökjelek segitségével, általánosságban nem is eszközölhető. Ruffini volt a legelső, ki «Della insolubilita delle equazioni algebr. gener. di grado superiore al quarto» címü értekezésében Gauss állítását bebizonyítással megerősítette. Ruffini hosszadalmas és nem mindenütt szigoru fejtegetései nem igen tudtak elterjedni.
A Ruffini-Gauss-féle tétel közbirtokba csak azután ment át, miután Abel «Démonstration de l'impossibilité etc.» címü értekezésében (Crelle-Journal 1826) rövid és kifogásolhatatlanul szigoru módon adta e tétel bebizonyítását. Az Abel tételében foglalt negativ eredmény ujabb pozitiv kérdéstételekhez vezetett: t. i. 1. Melyek az A.-i oldhatóságnak szükséges és elegendő feltetelei? 2. Miképen képezhetők az összes algebrailag oldható egyenletek? 3. Miként eszközlendő az algebrailag nem oldható egyenletek megoldása? E kérdések közül az elsőre Galois Éveriste adta meg a feleletet, miután ezt Gauss a körosztási egyenletek, Abel pedig a róia nevezett egyenletek tárgyalásával készítette elő. Galois eredeti észjárással megirt s tömörségénél fogva csak nehezen érthető értekezésében kifeitette az A.-i oldhatóság kritériumait. Ebben az értekezésben lerakta egyszersmind a kombinatórius A. módszereinek alapjait, melyeknek révén lehetségessé vált az A. különvált és szétfoszló részeit egységes tudományos rendszerben összefoglalni. A kombinatórius A. legjelesebb művelői a legujabb korban: Bertrand Jordan, Kronecker, König Gyula, Klein Felix etc. A fentemlitett második kérdéstétel, amely az A.-ilag oldalható egyenletek képezésére vonatkozik, leküzdendő aritmetikai nehézségei miatt a matematika legnehezebb problémái közé tartozik; sikerrel foglalkozott vele Kronecker, kinek dolgozatait Weber H. kommentálta. A harmadik kérdéstételt illetőleg kiemelendő az ötödfoku egyenlet megoldása amely Hermitétől és Kroneckertől ered. Ujabban Lindemann-nak sikerült Kronecker módszerét általánosítani tetszőleges fokszámmal biró egyenletekre. A közelitő módszerek kifejtésére szükséges elméletek megállapításában Vieta, Descartes, Newton, Fourier és Sturm buvárlatai a legfontosabbak. L. Formális algebra.
